Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
выражением 1 ±2/?- В том же приближении, однако, имеем
1 ± 2 Д} " П. (1 ± f]j) = exp (- р 2. , (10.57)
vi}ss - kT In (I ± f\.) = - kT In [l ± exp (--(Ю.58)
причем верхний знак соответствует бозонам, а нижний - фермионам.
Следовательно, при учете первой квантовой поправки формула (10.55)
переходит в
sp /""о "р [- р (s 4-+s"")] ¦ <,о'59>
Мы видим, что учет первой квантовой поправки в статистической сумме
идеального газа по своим результатам соответствует введению некоторого
эффективного потенциала взаимодействия частиц v (г)!) при классическом
рассмотрении задачи. Потенциал v(r) является притягивающим для бозонов и
отталкивательным для фермионов, как показано на фиг. 64. В этом смысле
иногда говорят о "статистическом притяжении9 между бозонами и
"статистическом отталкивании9
') Такой потенциал впервые обсуждался в работе Уленбека и Гроп-иера [7].
§ 2. Классический предел статистической суммы
241
между фермионами. Надо, однако, подчеркнуть, что появление потенциала
v(r) обусловлено исключительно свойствами симметрии волновой функции.
Кроме того, он зависит от температуры и поэтому не может рассматриваться
как истинный потенциал взаимодействия между частицами.
Обратимся теперь к более общему случаю, когда частицы системы
взаимодействуют друг с другом. При вычислении шпуров можно по-прежнему
использовать волновые функции свободных частиц Фр, так
VI г)
Фиг. 64. "Статистический потенциал" взаимодействия частиц в идеальном
газе, возникающим из-за свойств симметрии волновой функции системы N
как для этого подходит любая полная ортонормированная система волновых
функций.
Прежде всего надо заметить, что в общем случае К не коммутирует с 2.
Поэтому
е-$н _ e-0(K-+Q) ф
поскольку левая часть инвариантна относительно перестановки местами К и
2, а правая часть - не инвариантна. Чтобы найти подходящую аппроксимацию
для е~$н при р -ь-0, примем, что возможно следующее представление:
e-f)(tf+Q) = е-13/се-рпесоерс,^с, . (10.60)
здесь С0, Cj, С2, ... являются операторами, которые надо определить,
вычисляя я-е производные от обеих частей (10.60) по р и полагая Р = 0.
Для л = 0, 1, 2, ... последовательно находим С0 = 0,
С, = 0, (10.61)
С2=-|[К. 2],
Если бы коммутатор [/С, 2] коммутировал и с К, и с 2, то мы получили бы
С" = 0 (я > 2). В нашем случае это не так, но мы примем,
16 к. Хуанг
242
Гл. 10. Статистическая сумма
что для достаточно малых р хорошим приближением является следующее
выражение:
е-Ь(к+а)^ е-ъке-№е-чд?\к, а]. (10.62)
Таким образом,
Qn(V, r)"Sp[e-e*e-f>ae-W!l*, 21]. (10.63)
Используя (10.33) и (10.34), нетрудно убедиться, что
lK' (10-64)
где мы предполагаем, что и V22, и V;?2 существуют. Данное предположение
не снижает общности рассмотрения, так как действительные потенциалы
взаимодействия, если они вообще существуют, всегда могут быть
представлены гладкой функцией координат. Чтобы упростить дальнейшие
вычисления, заменим - постоянным вектором F, представляющим собой среднюю
силу, действующую на молекулу. Соответственно запишем
--J-P4K, 2]^-Р2' --g-F.Ponep, (10.65)
где Ропер есть оператор полного импульса, а
<10">
г=1 <•</
причем
Ф// = Ф (| гг гуI)>
Ф (r) = V2v(r). (10.67)
Из (10.65) и (10.62) находим
Qn (V, Т) ят (Ф^, е-р(^+?г+й')-, (№2",)р-рФр), (10.68)
где Р = рх -... +Рлг- Действуя далее так же, как в случае идеального
газа, находим
Qn(V' Т)~ ЛЧ^/ d(tm)re-W+*V'( 1 АО. (Ю.69)
где
J'( 1 N) = Vn J dbNpe~^p-iml2m)F'P|Фр(1................/V)|2. (10.70)
§ 2. Классический предел статистической суммы
243
Вычисление /(1 N) производится аналогично вычислению
У(1........N). Пусть
= d3pe~№l2mY 6р [/ (i-j - Pi-j - R) . . . f[rN - PrN - R)],
где /(г) определяется соотношением (10.52). Вновь можно использовать
приближения (10.54) и (10.57). Следовательно,
Qn (V, Т)^>-^злГ / а(tm)ра(tm)ге~№(Р- ')е-P(Q'+Q"). (10.73)
где 2' дается выражением (10.66), а 2" определяется соотношением
Таким образом, если пренебречь величиной 2'-)-2", то мы получим
соотношение (10.39). С помощью (10.66) и (10.74) можно написать
Следовательно, величиной 2'-)-2" можно пренебречь, если одновременно
выполняются условия:
Тепловая длина волны гораздо меньше среднего расстояния между частицами,
(10.78) Тепловая длина волны гораздо меньше некоторой длины,
характеризующей потенциал взаимодействия. (10.79)
Таковы качественные условия справедливости соотношения (10.39).
(10.71)
/(1, ..., N) = ^bpjd^pJle<p)H+ibVrp'r^ =
(10.72)
' ""=-.11 11 ±/'Ч I',, Rll (10.74)
2-+а-_ 2
(10.75)
it"' (гг - Гу),
(10.76)
причем
г- W " ? гч, м - "т i" о ±"¦-"> (фЕе"'")
(10.77)
244
Гл. 10. Статистическая сумма
§ 3. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
В квантовой механике хорошо известен следующий вариационный принцип. Если
гамильтониан системы является эрмитовым оператором, то энергия основного
состояния системы есть наименьшая возможная величина математического
ожидания гамильтониана, вычисленного с помощью произвольной нормированной
волновой функции, которая должна лишь удовлетворять граничным условиям
