Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
энергии К и оператора потенциальной энергии 2:
Н = К + &. (10.32)
Если Ч*1 (Г] .... Гдг)-волновая функция системы, то
К'V (п т") = 2 VfV (Г!.........т"). (10.33)
2^(Г1 rw) = Q(ri rw)V(n tn), (10.34)
где m- масса частицы, V; - оператор Лапласа, действующий на г(> а 2 (ri
Гдг) представляет собой сумму двухчастичных потен-
циалов:
2 (rj i>)= 2 v,j, (10.35)
где
",,. = *( | г, ~ г, |). (10.36)
В тех случаях, когда это удобно, вместо (г! Гд,) мы будем
писать (1, .... N).
') Нетрудно обобщить нижеследующее рассмотрение на случай частиц со
спином и на случай смешанной системы, состоящей из частиц двух и более
сортов.
§ 2. Классический предел статистической суммы
231
Статистическая сумма системы есть
Qn(V, r) = Spe-Pw= 2 (Ф". е~р//Фл). (10.37)
где Ф"(1 N) принадлежит некоторой полной ортонормирован-
ной системе волновых функций, а Ф,,(1 N) - комплексно сопряженная ей
функция. Для любого оператора 6
(Ф", 6(r)")==J йзл/гФ'(1 Л7)6Ф"(1 N). (10.38)
Каждая функция Ф" удовлетворяет граничным условиям, наложенным на
систему, и нормирована в ящике объемом V, содержащем систему.
Она является симметричной (антисимметричной) функцией Г[ rN,
если система состоит из бозонов (фермионов).
Ниже мы покажем, что при достаточно высоких температурах можно
приближенно записать
Qjv(V, Т)ят Г d(tm) pd^re'^ (р' г), (10.39)
ЛМ h J
где h - постоянная Планка, а Н(р, г) - классический гамильтониан системы
о -2-ёг + а(Г1 г"}- (10 40)
Этим самым будет доказано, что при достаточно высоких температурах
статистическая сумма приближается к классической статистической сумме с
"правильным больцмановским подсчетом" состояний. Критерий, определяющий
"достаточно высокую температуру", будет получен в процессе доказательства
соотношения (10.39).
Рассмотрим идеальный газ, для которого П(1............N)= 0. Соб-
ственными функциями гамильтониана являются волновые функции
свободных частиц Фр(1 N), описанные в приложении А, § 2.
Индекс р обозначает набор N импульсов
Р= (Pi. • • •- P/vl- (10.41)
Функции Фр являются собственными функциями уравнения
КФр(\ /У)=ЛрФр(1 ДО, (10.42)
где
Кр = -^(Р]+ ... +рЪ). (10.43)
Гл. 10. Статистическая сумма
Для удобства наложим на систему граничные условия периодичности в области
объемом V. Тогда допустимые значения р( выражаются формулой
р' = ^?' (10-44)
где п есть вектор с компонентами 0, ±1, ±2, ... В явном виде функции Фр(1
/V) записываются так:
<jyi л/) = ^=-26^[ир,(Я1> ••• "р"(рл/>] =
=ymZ6plu^(1)---u'^(/V)h (10А5)
uv(r)=~e<P-4K (10.46)
Обозначения даны в приложении А, § 2. Хотя функция Фр имеет
индекс р={р,......Рд,), но при любой перестановке импульсов
Pi, . ... рд, она самое большее меняет знак. Поэтому сумма по всем
состояниям равна сумме по всем независимым векторам р1; .... рд,,
умноженной на 1/А/!. В соответствии с этим
Spe-P^ = 4r 2 (%,e-V"Vp) =
Р1 pyv
= Ж 2 dwr\Фр(1, .... N)\1. (10.47)
В пределе V>оо суммирование по рг может быть заменено интегрированием:
2->-fJ d3pf (1о-48>
Следовательно,
Sp ^^ J d^'rJi 1....N), (10.49)
i(l, .... N)~Vn j d(tm) ре-^кр\Фр(\ Л/)|2. (10.50)
В силу (10.45)
J(l, .... N) = VN f p е^кР^Ьр[и^(Р\) ... "^(/W)] X
x?v[v,"<">]¦
$ 2. Классический предел статистической суммы
239
Каждый из N! членов суммы 2 Дает одинаковый вклад в интеграл,
так как все они могут быть приведены к одному и тому же интегралу путем
перестановки переменных интегрирования. Поэтому
У(1. .... N) =
= V"$6, [*; <PD* 0)]... [*- (?")* (")].
Р
Используя (10.43) и (10.46), находим
У(1 N) = S6Р J Ц е-р ^ (г;- =
x[Jrf>-pw+ip'^-Pr^] =
= [J й3ре-РР,'2"']Л,2бР[/(г1-Яг1) ... /(г*-Яг*)]; (10.51)
Г P (Л2/2ш) + (р-г/А
/(r) = ^-------------------=e-*rw (10.52)
fdtpeW
где r==|r| и X - ~\f2nh'2lmkT - тепловая длина волны. Подставляя
(10.51) в (10.49), получаем
Spe-f>ff =-J d3NpdiNre~^+ - +рк)/2т х
X ^6Р[/(rt - Ртг) ... f(TN-PTN)\. (10.53)
Это равенство является точным. Для больших температур подынтегральное
выражение можно приближенно представить следующим образом. Сумма 2
содержит N 1 членов. Член, соответствующий единич-р
ному значению оператора перестановки Р- I, равен [/(0)]Л/=1. Член,
соответствующий перестановке только г; и г;-, равен [/(г, - г;-)12- Таким
образом, нумеруя перестановки по возрастающему
240
Г л. 10 Статистическая сумма
числу переставляемых координат, приходим к разложению
2М/(Г!-Яг,) ... /(Т"-Рт")\=1 ±2./?; +
+ ^Jijftths ± (10.54)
где flj==f(Tl - Tj), причем верхний знак относится к бозонам, а нижний -
к фермионам. Согласно (10.52), при |гг - Tj\^>X величина fij чрезвычайно
быстро стремится к нулю. Поэтому
Spe-P^ n^n Jd3/Vprf3/vre-P(^ + --- +pl)l2m< (Ю.55)
когда температура столь высока, что
Тепловая длина волны гораздо меньше среднего расстояния между частицами.
(10.56)
Соотношение (10.39) для идеального газа доказано.
Представляет интерес исследование первой квантовой поправки к
классической статистической сумме идеального газа. Если |г; -
^>>А, то правую часть равенства (10.54) можно приближенно заменить
