Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
г(м' (10Л5)
где контур интегрирования в плоскости комплексного переменного z
представляет собой замкнутую кривую, окружающую точку z = 0.
Не снижая общности рассуждений, можно принять, что последовательность Е0,
?[, ... есть неуменьшающаяся последовательность целых чисел, не имеющих
общего делителя, так как при наличии общего делителя т всегда можно было
бы выбрать единицу энергии в т раз больше. Кроме того, можно положить Е0-
0- это только изменит начало отсчета энергии. Энергия U при этом станет
равной величине U-Е0, которую мы можем вновь обозначить через U, Числа
g0, gh ... сколь угодно мало отличаются от единицы. Временно опустим их в
ближайших выкладах. Таким образом,
f(z)=\ +z* + zb+ ... (?1<?2<?3< •••), (Ю.16)
где Ev Е2, ...-целые числа без общего делителя. Когда z - действительное
положительное число х, f (х) является монотонно возрастающей функцией х с
радиусом сходимости, скажем x - R. То же самое справедливо для {f{x)\M,
как это видно на фиг. 62. С другой стороны, функция \/zMU+l есть
монотонно убывающая функция вдоль действительной положительной оси.
Произведение этих двух функций имеет минимум в точке х0, лежащей между 0
и R, как показано на фиг. 62. Но функция /(z) является аналитической
функцией при |z| < Я, а функция z~MU~l аналитична всюду, за исключением
точки z - 0. Поэтому подынтегральная функция выражения (10.15)
= (10Л7>
аналитична при z = хй. Аналитическая функция имеет единственную
производную в данной точке. Кроме того, она удовлетворяет уравнению Коши-
Римана
Ь?+^)/(г) = ° (*-* + <>')• (Ю.18)
Поэтому
Иначе говоря, в комплексной ^-плоскости / (z) имеет минимум в точке z =
xQ при движении вдоль действительной оси и максимум в точке z = x0 при
движении вдоль пути, проходящем через точку х0
Фиг. 62. Функция [f (х)\м / хми +1 для действительных положительных х.
параллельно мнимой оси. Точка х0 является седловой точкой, как показано
на фиг. 63. Определим функцию g (z) следующим образом:
здесь мы пренебрегли величиной 1 /М по сравнению с U. Тогда х0 является
корнем уравнения
234
Г л. 10. Статистическая сумма
Таким образом, в пределе /И->оо в седловой точке мы имеем бесконечно
острый пик при движении в одном направлении и бесконечно крутую долину
при движении в перпендикулярном направлении. Если выбрать контур
интегрирования в виде круга радиусом х0 с центром в точке z = 0, то
контур пройдет через точку х0 в направлении мнимой оси. Следовательно, на
этом контуре в точке z = х0 подынтегральная функция будет иметь
исключительно острый максимум. Если нигде более на контуре нет максимумов
функции, сравнимых
по высоте с этим максимумом, то основной вклад в интеграл дает только
окрестность точки Xq1). Это действительно так, ибо при
Величина (10.23) имеет максимум, когда все члены действительны. Это
произойдет только в том случае, когда QEk = 2i\.nk, где tik - некоторое
целое число либо нуль. Если 0=^0, то 2л/0 должно быть рациональным
числом, но тогда Ek = (2n/Q)nk, что невозможно (за исключением случая 0 =
2л), так как числа Ек не имеют общего делителя. Таким образом, приходим к
заключению, что наибольшее значение функция 1 (г) имеет в точке z = х0.
Чтобы вычислить интеграл (10.15), разложим подынтегральное выражение
около точки z - xQ:
Я(2)1
Фиг. 63. Седловая точка.
1/ (г) I = -pw I 1 + (xoe'6f' + (x0em)El + ...Г. (10.23)
g(z) = g (х0) + i (Z - Xq)" g" (Xo) +
') Такой метод вычисления обычно называют методом перевала.- Прим. ред.
§ 1. Метод Дарвина - Фаулера
235
Следовательно,
Г(М, = dzeMeW " e we <*.) _L_ | dze'We" ".H*-*.)*. Полагая (2 - ¦%) - гу,
находим
1 +/° /Л
r(M,U)~eMs<*"> - dye^ ==__L====-. (Ю.24) 4 2я V2nMg"(x0) '
Поэтому
^-1пГ(Ж, (У)^^(х0)-^-1п[2яЖГ(^о)]- (Ю.25)
При Л4->оо первый член дает точный результат. Чтобы вычислить ^(л:0),
сначала получим из (10.20) следующие формулы:
^ (JC0) = In / (х0) - и In х0,
Используя для f(x0) выражение (10.13) (опять с числами gk) и определяя
параметр р равенством
х0 = е~Ь. (10.26)
получаем
g (х0) = In +
**2 S^El-Uy^ (Ю.27)
g" (*о) = - и)2>-
Следовательно,
^-1пГ(Ж, (/) = ln^^e'p^j + pt/-(tm)ln[2nAl^(x0)], (10.28) откуда находим,
учитывая также (10.7) и (10.8),
(10.30)
W М М L М м <(?-j/)2)J t-iU-0U''
235
Г л. 10. Статистическая сумма
В пределе М -> со полученная формула является точной. Мы видим, что
флуктуации в этом пределе исчезают. Следовательно (mk')~mk. Параметр р
определяем, исходя из (10.21) и (10.26):
I Еке-*Еь
и = ^---------------= (?)• (10.31)
Поэтому р можно отождествить с 1 /кТ, где Т-абсолютная температура.
При наиболее вероятном распределении вероятность найти систему ансамбля в
состоянии с энергией Ек определяется соотношением (10.29). Ансамбль с
таким распределением по энергиям представляет собой канонический
ансамбль.
§ 2. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ СТАТИСТИЧЕСКОЙ СУММЫ
Пусть Н - гамильтониан системы N тождественных бесспиновых частиц1).
Пусть Н представляет собой сумму двух операторов: оператора кинетической
