Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
из микроканонического ансамбля, однако его можно получить и
непосредственно. Если не стремиться к большой строгости, то вывод
оказывается очень простым. Рассмотрим ансамбль М систем такой, что
средняя по всем системам энергия равна данному числу U. Найдем наиболее
вероятное распределение систем по энергиям в предельном случае /И->-со.
По определению ансамбля, системы не взаимодействуют друг с другом, могут
рассматриваться раздельно и являются, следовательно, вполне различимыми.
Таким образом, наша задача математически тождественна задаче о наиболее
вероятном распределении в классическом идеальном газе. Как мы знаем,
решением является распределение Максвелла - Больцмана: значение энергии
Еп встречается среди систем с относительной вероятностью где р
определяется средней энергией U. Такой ансамбль
является каноническим ансамблем. Очевидно, что эти рассуждения в равной
мере справедливы и в классической, и в квантовой статистической механике.
Дадим теперь более строгий вывод, не опирающийся на формулу Стирлинга,
которая необходима при обычном выводе распределения Максвелла -
Больцмана. Цель нашего рассмотрения будет состоять не только в
непосредственном выводе канонического ансамбля. Мы хотим также дать
представление об интегрировании методом перевала, который представляет
собой полезный математический прием в статистической механике. Все
последующие рассуждения справедливы и в квантовой, и в классической
статистической механике.
Осуществим вывод канонического ансамбля, используя метод, принадлежащий
Дарвину и Фаулеру. Примем, что система в ансамбле может иметь любое из
значений энергии Ек (k = 0, 1, 2, . . .). Если выбрать единицу энергии
достаточно малой, то можно считать Ек целым числом. Пусть среди систем
ансамбля
т0 систем имеют энергию Е0, т, систем имеют энергию ?,,
........................................... (Ю.1)
тк систем имеют энергию Ек,
230
Гл. 10. Статистическая сумма
Набор целых чисел ( mk\ описывает произвольное распределение энергии по
системам. Эти числа должны удовлетворять условиям
2 mk=M,
"° (10-2) 2 Ekmk = MU,
причем как М, так и U - целые числа. Мы хотим найти наиболее вероятный
набор jmk\.
При данном наборе jmk\, удовлетворяющем условиям (10.2), существует более
одного способа построения ансамбля, соответствующего условиям (10.1), так
как перестановка любых двух систем (системы различимы) оставляет jmk\
неизменным. Пусть W \mk} есть число различных способов распределения
значений энергии по системам, при которых удовлетворяются условия (10.1).
Очевидно,
Постулат равных априорных вероятностей в данном случае состоит в
утверждении, что все распределения энергии между системами имеют
одинаковую вероятность, если только выполнены условия (10.2). Таким
образом, jmk\ есть набор, соответствующий максимальному значению величины
W {mk\, определяемой формулой (10.3). Поскольку следует ожидать, что в
пределе М -> ээ почти все возможные наборы [mk] совпадают с [mk\, можно
найти [mk\, вычисляя среднее значение mk по всем возможным распределениям
энергии:
2' mkW{mt}
{щ) = 1 2' W {щ} ' (10,4)
{mi\
причем штрихи у знаков суммы означают, что суммирование производится по
всем наборам \mk), удовлетворяющим условиям (10.2). Можно также вычислить
среднеквадратичную флуктуацию (nify-
Если в пределе М> со она обращается в нуль, то в этом пределе
Ради удобства изменим определение W \mk). Положим
w К) =
(10.5)
$ /. Метод Дарвина - Фаулера
231
где gk- числа, которые в конце вычисления мы положим равными единице.
Пусть
г (м. и)= 2' w к). (Ю.6)
Тогда
<"*> = ** а!;,пЛ ('0.7)
Среднеквадратичная флуктуация может быть получена следующим образом:
1 ('¦?) =
г д Iх г дГ\ 1 1 д 1 \ "2 дГ
дВк\г*>* dgk) 1 1^* г)-
д dgk (¦'*?" *г) + (е*-
(О-С'.У-и.щ ¦ ig,< ^7 шг).
^7! • (10.8)
Следовательно,
Таким образом, достаточно вычислить In Г.
Согласно (10.6) и (10.5),
Г=М\ (Ю.9)
Это выражение нельзя вычислить явно ввиду ограничения (10.2). Нас.
однако, интересует значение этой величины только в пределе /М->оо. Для
дальнейшего определим производящую функцию для Г следующим образом. Пусть
для любого комплексного числа z имеем
0(/И, *)= %гмиГ(М, U). (10.10)
Используя (10.9) и (10.2), находим
о(ж, 2)=лп? [ (g°^ - (gl^? ' ¦ ¦ •] • (10-п)
Нетрудно видеть, что двойная сумма в (10.11) эквивалентна суммированию по
всем наборам {тк}, удовлетворяющим условию 2 тк - Чтобы показать это,
надо лишь убедиться, что каждый член при
232
Гл. 10. Статистическая сумма
одном способе суммирования встречается один и только один раз при другом
способе суммирования, и наоборот. Следовательно,
0(М, z) = ^ Wo!^i!r--[(go^?o)CT°(gi^?0CT' • • •] =
2т'='м'
= + ••¦)"• (Ю.12)
Последнее равенство следует из мультиномиальной теоремы. Пусть
/(*)=S0s*A (10-13)
тогда
0(М, z) = lf(z)]M. (10.14)
Чтобы получить Г{М, U) из G(M, z), заметим, что, по определению, Г (/И,
U) есть коэффициент при zMU в разложении О (/И, z) по степеням z. Поэтому
