Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
правдоподобным, что эти интервалы времени можно рассматривать как
бесконечные в сравнении с характеристическими молекулярными временами,
например временем свободного пробега. Но в доказательстве этого как раз и
состоит центральная задача всего вывода при таком подходе. Ясно, что
такое доказательство нельзя сделать без полного использования деталей
молекулярной динамики. Однако методы, применявшиеся для доказательства
эргодической гипотезы, основывались как раз на стремлении обойти детали
молекулярной динамики. Таким образом, этот подход, по-видимому, может
стать физически более удовлетворительным только при привлечении
принципиально новых методов исследования.
Основное кинетическое уравнение есть уравнение, описывающее изменение во
времени величины Pn(t), т. е. вероятности того, что в момент времени t
система находится в состоянии п. Если соответствующим образом
интерпретировать слово "состояние", то Pn(t) можно определить как в
классической, так и в квантовой механике. Чтобы доказать справедливость
статистической механики, надо показать, что P"{t) приближается к величине
(сп, е"), определяемой соотношением (9.5), когда t становится значительно
больше характеристического времени системы, называемого временем
релаксации, например времени свободного пробега.
Основное кинетическое уравнение записывается в виде
= (9'79)
где Wтп - вероятность перехода за 1 сек из состояния п в состояние т. Оно
было впервые выведено Паули в предположении, что п обозначает отдельное
квантовое состояние системы и что коэффициенты в разложении (9.1) в любой
момент обладают случайными фазами. Все последующие работы были посвящены
улучшению этих предположений и решению самого основного кинетического
уравнения.
') Интересующихся современным состоянием эргодической теории в
статистической механике отсылаем к сборнику лекций, прочитанных в 1962 г.
в летней школе им. Э. Ферми. См. Scuola Internacionale di Enrico Fermi,
Corso XIV "Ergodic Theory", New York, 1962.-Прим. ред.
Задачи
227
Можно показать, что решения основного кинетического уравнения
действительно стремятся к желаемому пределу при > со. Следовательно,
задача вывода статистической механики сводится к доказательству
справедливости основного кинетического уравнения и определению времени
релаксации.
Можно заметить сходство между основным кинетическим уравнением и
уравнением переноса Больцмана, хотя не следует забывать, что последнее
относится к р-пространству, в то время как первое- к Г-пространству.
Предположение о случайности фаз здесь аналогично предположению о
молекулярном хаосе в уравнении Больцмана. В обоих случаях сравнительно
просто получить решение при t^-co, но трудно найти время релаксации.
Подход, в котором исходят из основного кинетического уравнения, по всей
видимости, дает больше оснований надеяться на успешный вывод
статистической механики, что в свою очередь приведет к более глубокому
пониманию неравновесных процессов в общем случае. Более подробное
обсуждение основного кинетического уравнения не входит, однако, в задачу
настоящей книги ')¦
Задачи
9.1. Найти матрицу плотности для частично поляризованного падающего пучка
электронов в эксперименте по рассеянию, когда /-я часть электронов
поляризована вдоль направления пучка, а (1-/)-я часть поляризована против
направления пучка.
9.2. Проверить неравенство (9.49).
9.3. Вывести уравнения состояния (9.67) и (9.71), используя микрокано-
нический ансамбль.
9.4. Доказать соотношение (8.14) в квантовой статистической механике.
9.5. Вычислить большую статистическую сумму для системы N
невзаимодействующих квантовомеханических гармонических осцилляторов с
одной собственной частотой и0. Сделать это
а) для статистики Больцмана,
б) для статистики Бозе.
Указание. Выписать уровни энергии системы N осцилляторов и определить
вырождение уровней для двух указанных случаев.
9.6. Каково равновесное отношение концентраций орто- и параводорода при
температуре 30° К? Каково это отношение в пределе высоких температур?
Расстояние между протонами в молекуле принять равным 0,74 А.
Указания, а. При рассматриваемых температурах для молекул Н2 справедлива
статистика Больцмана.
б. Энергия отдельной молекулы Н2 равна сумме членов, соответствующих
энергии вращательного движения, колебательного движения, поступательного
движения и возбуждения электронного облака. Необходимо учитывать только
энергию вращательного движения.
') Общее обсуждение основного кинетического уравнения см. в статье ван
Кампена в книге [6]. Усовершенствование приближения случайных фаз Дано в
статье ван Хова в той же книге.
15*
228
Г л. 9. Квантовая статистическая механика
в. Вращательные энергии суть
?лара = -^-'(* + П (/ = 1,3,5,...).
?оРто = -^-1(1 + 1) (1= 0,2,4,...),
:КуЛЫ Н2.
ютная температура и р =
[ V 101 _L lie-(r)*2/2!)! (
Глава 10
СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА
§ 1. МЕТОД ДАРВИНА - ФАУЛЕРА
Как было показано в гл. 8, § 1, канонический ансамбль может быть выведен
