Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
?F=^g./,iz)-±lnO-z). jrg%(z) + Y ьГ7 '
где \=У 2яй2/отА7' и
g4l 00 = - / dx х2 In (1 - ге~*) = Ё 7Г
Как следует из (9.65), величина z/(l - г) есть среднее число заполнения
(ге0) одночастичного уровня с р = 0
ТЗТ=Ы- (9.75)
]) То, что это действительно так, показано в гл. 12, § 3 в связи с
рассмотрением конденсации Бозе - Эйнштейна.
(9.73)
(9.74)
224
Гл. 9. Квантовая статистическая механика
Этот член дает значительный вклад в (9.72), если {tt0)/V есть конечное
число, т. е. если конечная доля всех частиц системы занимает единственный
уровень с р = 0. В гл. 12, § 3, мы увидим, что при такой ситуации имеет
место явление, называемое конденсацией Бозе - Эйнштейна.
Внутренняя энергия как газа Ферми, так и газа Бозе может быть найдена по
формуле
Чтобы выразить U через N, V и Г, надо исключить z. В результате получим
очень сложную функцию. Сравнение (9.77), (9.68) и (9.72) показывает,
однако, что внутренняя энергия U непосредственно связана с давлением
соотношением!)
Эта формула справедлива также и для идеального газа Больцмана.
Детальное исследование идеальных газов со всеми приложениями проводится в
гл. 11 и 12.
§ 7. ОБОСНОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Настоящий параграф не содержит никаких вычислений. Его цель состоит в
том, чтобы познакомить читателя с главными направлениями решения основной
проблемы - вывода статистической механики из молекулярной динамики2).
¦) Принимается, что членом V 1 1 n (1-z) в (9.72) можно пренебречь. Этот
вопрос рассматривается в гл. 12, § 3.
2) Подробную библиографию по этому вопросу см. в книге [6],
</(*. V.T) = ±
[1° (r) т>]- (9-7G)
Поскольку In 6 = PVjkT, из (9.68) и (9.72) получаем
I Т 1Т Л*(Ферми), U(z, V, 7') = | з kT
| 2?^(z) (Бозе).
(9.77)
U = ^PV (Бозе и Ферми).
(9.78)
§ 7. Обоснование статистической механики 225
Напомним, что частный раздел статистической механики - классическая
кинетическая теория газов - может быть почти строго выведена из
молекулярной динамики. Единственным специально вводимым предположением
является предположение о молекулярном хаосе, которое, однако, играет
вполне ясную роль, а именно позволяет совершить переход от обратимых
микроскопических явлений к необратимым макроскопическим явлениям.
Поскольку необратимость естественным образом должна содержаться во всех
правильных результатах, предположение такого рода не только неизбежно, но
и желательно, так как оно позволяет четко выделить момент, когда
возникает необратимость. Дальнейшее усовершенствование вывода может
состоять в замене этого предположения более общим, но отнюдь не в полном
отказе от него.
Вывод классической кинетической теории газов можно считать достаточно
удовлетворительным. Рассматривая более общую проблему вывода
статистической механики, мы можем иметь в виду этот результат в качестве
примера. На этом примере видно, что успешный вывод статистической
механики должен одновременно удовлетворять двум требованиям:
а) он должен ясно показывать соотношение между микроскопической
обратимостью и макроскопической необратимостью;
б) он должен давать детальное описание процесса приближения к состоянию
равновесия.
Таким образом, успешный вывод статистической механики должен
удовлетворять не только философскому стремлению физика объяснить все
наблюдаемые явления на основе молекулярной динамики, но также и его
естественному практическому желанию получить численные результаты,
которые можно сравнивать с опытом.
С логической точки зрения достаточно получить вывод квантовой
статистической механики, так как классическая статистическая механика
является только частным случаем первой. Если, однако, мы хотим понять
механизм неравновесных процессов в классической области, то целесообразно
исходить из классической механики. По этой причине попытки вывода
классической статистической механики из классической механики могут иметь
большое практическое зна-
Попытки вывода статистической механики до настоящего времени шли в двух
основных направлениях. Одни исследователи ставили себе целью
доказательство эргодической гипотезы, другие же стремились получить
основное кинетическое уравнение (master equation). Из этих двух
направлений только второе, по-видимому, может удовлетворить
сформулированным выше требованиям.
Эргодическая гипотеза, впервые выдвинутая Больцманом, утверждает, что
среднее по времени от макроскопической величины в равновесных условиях
совпадает со средним по ансамблю. До настоящего
15 К Хуанг
226
Гл. 9. Квантовая статистическая механика
времени эта гипотеза была доказана для усреднения по бесконечно большим
промежуткам времени как в классической, так и в квантовой механике при
некоторых предположениях, которые слишком абстрактны, чтобы допускать
простую формулировку, и выполнимость которых сама по себе требует
доказательства,). Во всех физических экспериментах мы усредняем не по
бесконечным промежуткам времени, а по конечным интервалам, которые в
макроскопических масштабах очень малы. Представляется вполне
