Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 69

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 154 >> Следующая

величины она равна длине волны де Бройля частицы, имеющей массу т и
энергию kT. Обозначая И/Л/ через v, получаем
z = (9.52)
Из условия Е = 2 nfii следует, что Е = Z ? Sfiie~PS' = 2 ? ере_ВеР =
= dp 4xpi (|1) e-Wim = | NkT. (9.53)
Следовательно, T есть абсолютная температура. В соответствии с (9.48) и
(9.46) энтропия равна
~=г ^е_|ЗЕРфер - In z)=pE-JV!nz =
(9.М)
Это уравнение Сакура - Тетроде. Тот факт, что постоянная h = 2яЛ есть
постоянная Планка, следует из (9.31), где впервые появляется квантовая
постоянная. Уравнение состояния выводится из функции U (S, V), которая
представляет собой энергию Е, выраженную в переменных 5 и V.
Непосредственно получаем PV = NkT. Следует отметить, что выражение (9.54)
не удовлетворяет третьему закону термодинамики. Это не должно вызывать
беспокойства, так как газ Больцмана не является физической системой. Газ
Больцмана-только модель, обладающая предельными свойствами газов Бозе и
Ферми при достаточно высоких температурах. Это показывает, однако, что
третий закон термодинамики не является автоматическим следствием общих
принципов квантовой механики, а зависит от особенностей плотности
состояний вблизи основного состояния.
220
Г л. 9. Квантовая статистическая механика
Аналогичные результаты можно получить и для газов Бозе и Ферми. Удобнее,
однако, обсуждать их свойства на основе большого канонического ансамбля,
к чему мы и переходим в следующем параграфе.
§ 6. ИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ. БОЛЬШОЙ КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ
Статистическая сумма для идеальных газов имеет вид
Для газа Бозе и газа Больимана пр = 0, 1, 2, ... Для газа Ферми tip - 0,
1. Число состояний, соответствующих {яр], есть
Это равенство есть мультиномиальная теорема, которая является обобщением
бинома Ньютона. В пределе К->оо можно написать
откуда нетрудно получить уравнение Сакура - Тетроде для энтропии и
уравнение состояния PV = NkT. Большая статистическая сумма тривиальна и
не будет выписываться.
где
qn(v, 7-) = S^W^|3?{np}.
Е {""} = 2 ерЯр,
(9.55)
(9.56)
а числа заполнения удовлетворяют условию
2"p = (v.
(9.57)
(Бозе и Ферми), (Больцман).
(9.58)
Проведем вычисления сначала для газа Больцмана:
(9.59)
Следовательно,
(9.60)
§ б. Идеальные газы. Большой канонический ансамбль
221
Для газа Возе и газа Ферми статистическую сумму довольно трудно вычислить
ввиду условия (9.57). Вместо статистической суммы мы рассмотрим большую
статистическую сумму
6(2. V, Г) = ?^(К. Л = Е ^ zNe~^Vp =
П>"*р)"р- <9-61)
Следует отметить, что двойное суммирование в этой формуле эквивалентно
суммированию по каждому яр независимо. Чтобы доказать это, надо показать,
что каждый член в первом способе суммирования встречается раз и только
раз во втором способе, и наоборот. Нетрудно сообразить, что это так.
Поэтому
6 (2, Н, Т) = 2 2 .. . [(ze-4n° (ze-^Г ... ] =
= [2 [| (ze-Ъ)*] . .. = JJ {ге~^Ц
где сумма 2 распространяется на значения я = 0, 1, 2, . . . для
газа Бозе и на значения п = 0, 1 для газа Ферми. В результате получаем
П ' (Бозе),
6(2, V, T)= р г (9.62)
Д(1 + ге_|3?р) (Ферми).
р
Уравнения состояния суть
f - 2 1п 0 - ze~^p) (Бозе),
-^- = 1п6(2, V, Г)=|
величина z должна быть исключена отсюда с помощью соотношений
L t ze~^zP (Б°3е)'
N=z-^\n&(z,V, Т) = \ Р (9.64)
Е - --'-ре (Ферми).
222
Гл. 9. Квантовая статистическая механика
Средние числа заполнения (ир) определяются соотношениями
которые совпадают с (9.45). Соотношения (9.64) означают просто, что
Как и следовало ожидать, результаты полностью эквивалентны полученным в
микроканоническом ансамбле.
Совершим теперь переход V->со и заменим, где возможно, суммы по р
интегралами по р в соответствии с (9.32). Подобная замена, очевидно,
допустима, если суммируемое выражение конечно при всех р. В (9.63) и
(9.64) активность z не отрицательна как для идеального газа Бозе, так и
для идеального газа Ферми. Действительно, если бы величина z была
отрицательной, то соотношение
(9.64) не могло бы удовлетворяться для положительных N. Сразу ясно,
что для идеального газа Ферми можно заменить суммы в (9.63) и (9.64)
интегралами по р. Тогда получаем следующее уравнение состояния:
Идеальный газ Ферми
где v = VjN. Нетрудно непосредственно проверить, что (9.67) можно также
записать в форме
N = 2 ("р>-
(9.66)
(9.67)
(9.68)
§ 6. Идеальные газы. Большой канонический ансамбль
223
где X=Y2nti2lmkT и
Л, {г) = ~ / dx х* In (1 + ге-#) = ? . (9.69)
/,2 (г) = г /% (г) = ? • (9.70)
Для идеального газа Бозе суммируемые выражения в (9.63) и
(9.64) расходятся при z-> 1, так как при этом обращается в
бесконечность член с р = 0. Таким образом, один член с р = 0 может играть
столь же важную роль, как и вся остальная сумма'). Выделим поэтому в
(9.63) и (9.64) члены с р = 0, а оставшиеся суммы заменим интегралами.
Тогда получим следующее уравнение состояния: Идеальный газ Бозе
~ = -~ J dp р* In (1 _ ze~№) - A- In (1 - z).
(9-71)
1 ___ 4я f . , 1 1 г
v ~ Л3 J РР z-^e^p'nm_ i + у х - г '
где v = V/N. Нетрудно показать, что (9.71) можно также записать -
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed