Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
случае ведет к новому состоянию, но оставляет {"р} неизменным.
Полная энергия системы равна данному числу Е с точностью до малой
неопределенности А, величина которой не имеет значения.
Поэтому Г(?) можно найти следующим образом, При V ->со уровни (9,30)
образуют континуум. Разделим спектр (9,30) на группы уровней, содержащих
по g'j, g2, • ¦ ¦ уровней, как показано на фиг. 61. Каждую группу назовем
ячейкой; средняя энергия ячейки есть ег. Число заполнения г-й ячейки,
которое мы обозначим через nh представляет собой сумму пр по всем уровням
<'-й ячейки, По предположению, каждое число gt очень велико, но точное
его значение не важно. Пусть
W{,
Фиг. 61. Разбиение спектра одночастичной энергии па ячейки.
(9.36)
216 Гл. 9. Квантовая статистическая механика
где сумма распространяется по всем наборам целых чисел [п^],
удовлетворяющим условиям
Е=^1г1п1, (9.37)
N='2ini. (9.38)
Чтобы найти W (и() для бозе-газа и ферми-газа, достаточно найти wh т. е.
число способов, которыми ni частиц могут быть размещены в /-Й ячейке
(содержащей gt уровней). Поскольку перестановка частиц из одной ячейки в
другую не ведет к новому состоянию системы, имеем 47 [я,-} = JJ (r);-. Для
газа Больцмана перестановка
частиц из одной ячейки в другую ведет ь так что надо рассматривать сразу
все три случая могут быть изучены следующим образом.
Газ Бозе. Каждый уровень может быть занят любым числом частиц. Представим
себе, что 7-я ячейка разделена на gL подъячеек при помощи gt - 1
разбиений таким образом:
• -М- -1-1 I- -I I-
подъячейки 12 3 gt - 1 gt
Число (r),- определяется числом сочетаний из (и,- + gt - 1) элемен-- число
частиц, a gt - 1 - число разбиений, дающих
различные размещени
(в. + g.-l)! л, !(?,-!)! '
=д =II (Бозе>- <9-39>
Газ Ферми. Число частиц в каждой из °\ подъячеек г-й ячейки равно либо 0,
либо 1. Следовательно, wt -есть число способов, которыми И; предметов
могут быть выбраны из gt предметов:
Поэтому
Г {"Л ][ Д nji]'-Try. (ФеРми>- (9'41)
Газ Больцмана. Пусть вначале N частиц помещены в ячейки, причем 7-я
ячейка содержит п1 частиц. Возможны A4^]J(rt;!) спо-
§ 5. Идеальные газы. Микроканоиический ансамбль
217
собов такого размещения. Но i-я ячейка содержит gt уровней. Среди всех я,
частиц в й ячейке первая может занять эти уровни gt способами. Вторая и
все последующие также могут занять уровни ячейки gt способами.
Следовательно, имеется всего способов,
которыми ni частиц могут занять g,. уровней. Полное число способов
получить {яг] равно поэтому
Однако, по определению, чтобы получить W {п^, нужно умножить последнюю
величину на 1/Л/!. Таким образом,
Это определение соответствует "правильному больцмановскому подсчету"
состояний и не отражает никакого физического свойства частиц системы.
Правило (9.42) определяет только математическую модель.
Для всех трех рассмотренных случаев правила подсчета состояний
оказываются различными; эти правила лежат соответственно в основе
статистики Бозе, статистики Ферми и статистики Больцмана.
Чтобы получить энтропию S = й 1ц Г(?), надо в соответствии с (9.36)
просуммировать W {я,} по всем (я,). В общем случае это задача
колоссальной трудности. Для газа Больцмана подобное вычисление было
выполнено в гл. 7, § 5. Разумно предположить, однако, что в хорошем
приближении величину Г (Е) можно считать равной W (яг), где [яг] - набор
чисел заполнения, соответствующих максимуму W {яг} при условиях (9.37) и
(9.38). Примем это предположение, а затем проверим его, показав, что
флуктуации малы. В соответствии с этим энтропия равна
Чтобы найти [яг], определим максимум W [п^, варьируя я, при выполнении
условий (9.37) и (9.38). Вычисления аналогичны тем, которые были
проведены в гл. 4, § 3, и не будут здесь воспроизводиться. Приведем
только результаты:
w М = Д4/Г (Больцман)-
(9.42)
S = й In W (я,).
(9.43)
(Больцман).
(9.44)
218
Гл. 9. Квантовая статистическая механика
Отсюда получаем
/Бозе \ (Ферми) (Больцман).
i = in w {",} =
Параметры г и р являются множителями Лагранжа, которые следует определить
из условий
Sbp"p = ?.
\nf = N. (9'46)
Первое условие определяет температуру р=1/й7\ второе дает активность г.
Применяя формулу Стирлинга и пренебрегая единицей по сравнению с gt,
находим из (9.42) и (9,43):
^ + +~j \ (Бозе),
2[5|ln(f-l)-ftln(l-^] (Ферми), (9.47) V"jln-=(- (Больцман),
i щ
или в более развернутой форме
X Si -ln (! - "-*)] (Бозе)'
? gl ["^цгг+1п ^ + ге ^] (феРми)' <9-48>
z (ре; - In z) (Больцман).
Справедливость этих выражений зависит от предположения, что
- <1. (9.49)
Выполнение этого условия нетрудно проверить путем вычислений, аналогичных
тем, которые привели к соотношению (4.54). Из (9.48) можно найти
термодинамические функции, выразив сначала z через N с помощью условий
(9.46).
§ 5. Идеальные газы. Микроканонический ансамбль 219
Для газа Больцмана проведем вычисления явно. Из (9.38) и (9.44) имеем
г ? е'Р8р = ^г/dp^P2e-m2m = ", (9.50)
i-=YW-
Эта величина называется тепловой длиной волны, так как по порядку
