Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 67

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 154 >> Следующая

что сказанное не имеет ничего общего с третьим законом термодинамики,
который является феноменологическим законом, основанным на экспериментах,
проведенных при температурах порядка ГК.
§ 5. Идеальные газы. Микроканоиический ансамбль
213
Чтобы проверить справедливость третьего закона термодинамики для систем,
имеющих почти непрерывный спектр энергии, надо исследовать поведение
плотности состояний ш(?) вблизи Е~ 0. Большинство известных нам веществ
вблизи абсолютного нуля находятся в кристаллическом состоянии. Для таких
веществ все термодинамические функции вблизи абсолютного нуля могут быть
получены на основе теории Дебая, которая рассматривается в гл. 12, § 2.
Там показано, что третий закон термодинамики выполняется.
Единственным веществом, остающимся жидким при абсолютном нуле, является
гелий, который рассматривается в гл. 18. В гл. 18, § 3, показано, что
вблизи абсолютного нуля плотность состояний для жидкого гелия качественно
не отличается от плотности состояний твердых тел. Следовательно, третий
закон термодинамики для жидкого гелия также выполняется.
Помимо этих примеров, которые, правда, включают все известные вещества,
мы не можем дать универсального доказательства третьего закона
термодинамики. Но в этом по-видимому нет необходимости; третий закон
термодинамики есть суммарный вывод, полученный на основе опытных данных
для всех известных веществ.
§ 5. ИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ. МИКРОКАНОИИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ
Простейшая система N тождественных частиц состоит из N
невзаимодействующих членов. Гамильтониан такой системы есть
"=|4 <9и)
где р] = Р< ' Р/, а Р( - оператор импульса i-й частицы. Гамильтониан не
зависит от положений частиц или каких-либо иных координат, например
спинов, если они есть.
В природе встречаются два типа систем N тождественных частиц: системы
Бозе и системы Ферми1). Полная система собственных функций для системы
Бозе состоит из тех собственных функций оператора Н, которые симметричны
по отношению к перестановке координат любой пары частиц. Полная система
собственных функций системы Ферми состоит из тех собственных функций
оператора Н, которые антисимметричны по отношению к перестановке
координат любой пары частиц. Частицы, составляющие систему Бозе,
называются бозонами, частицы, составляющие систему Ферми,-фермионами.
') См, приложение А, § 1.
214
Г л. 9. Квантовая статистическая механика
В дополнение к этим двум типам систем определим для сравнения систему
Больцмана. Она определяется как система частиц, собственными функциями
которой являются все собственные функции оператора Н; однако подсчет этих
собственных функций должен быть "правильным больцмановским подсчетом".
Набор собственных функций для системы Больцмана включает собственные
функции системы Бозе, собственные функции системы Ферми и еще
дополнительные собственные функции. В природе не существует систем этого
типа. Однако система Больцмана является полезной моделью, так как при
высоких температурах термодинамические свойства как системы Бозе, так и
системы Ферми приближаются к термодинамическим свойствам системы
Больцмана.
В случае невзаимодействующих тождественных частиц возможны три типа
систем: идеальный газ Бозе, идеальный газ Ферми и идеальный газ
Больцмана. Получим сначала термодинамику этих идеальных газов на основе
формализма микроканонического ансамбля. Для этого необходимо найти для
каждого из трех случаев число состояний Г(Е) системы со значениями
энергии, лежащими между Е и ?-(-А. Иначе говоря, нам надо научиться
подсчитывать состояния системы.
Чтобы избежать ненужных усложнений, ограничимся случаем бесспиновых
частиц. Всякое собственное значение энергии идеальной системы является
суммой одночастичных энергий, или одночастичных уровней. Одночастичные
энергии даются формулой
ь собственное значение оператора импульса
р ~ ~тг п; <9-31>
здесь п - вектор, компоненты которого равны любому положительному или
отрицательному целому числу или нулю, a L - кубический корень из объема
системы:
Z.== Vv'.
В пределе V->оо возможные значения р образуют континуум. В этом случае
сумма по р иногда может быть заменена интегралом
где h - 2nh - постоянная Планка1).
') Объяснение формул (9.31) и (9.32) см. в приложении А, § 2.
§ 5. Идеальные газы. Микроканоиический ансамбль 215
Состояние идеальной системы может быть описано заданием системы чисел
заполнения уровней {яр}, которые определены так, что в рассматриваемом
состоянии система содержит пр частиц с импульсом р, Очевидно, что полная
энергия Е и полное число частиц N в указанном состоянии определяются
формулами
?=ЦерЯр.
Для бесспиновых бозонов и фермионов задание чисел заполне-1Я {"р}
однозначно определяет состояние системы, Допустимы сле-
дующие значения пр ( 0, 1, 2, "р=( 0, 1
(для фермионов)
(9.34)
N-частич-) переста-
Для газа Больцмана пр = 0, 1,2, . определяет N \j fl {пр !) состояний
ной системы. Это связано < новка импульсов двух частиц в системе в общем
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed