Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 66

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 154 >> Следующая

§ 3. АНСАМБЛИ В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ Микроканонический
ансамбль
Матрица плотности для микроканонического ансамбля в представлении, в
котором гамильтониан диагоналей, есть
Pmn = 6mn|6"p. (9.15)
(1 (Е <?"<? + А),
|&"|а= L л (9Лб)
(0 (в остальных случаях); здесь [Еп\ являются собственными значениями
гамильтониана. Оператор плотности выражается формулой
Р= <?2?+]Ф"><Фп|. (9.17)
Шпур оператора р равен числу состояний, энергии которых лежат между Е и
E-j-A:
Spp=2p"" = E(E). (9.18)
Для макроскопических систем спектр [Еп\ почти непрерывен. При А <^Е можно
положить
Г(Е) = а (Е) А, (9.19)
где ш (Е) есть плотность состояний с энергией Е. Связь между микро-
каноническим ансамблем и термодинамикой можно установить, вводя следующее
определение энтропии:
S(E, У) = к1пГ(Е), (9.20)
где k - постоянная Больцмана. Это определение совпадает с тем, которое
было дано в классической статистической механике, но только Г(Е) следует
вычислять квантовомеханически. Начиная с этого пункта, все дальнейшие
выкладки совпадают со схемой классической статистической механики, так
что нет необходимости их повторять. Формула (9.20) не ведет к парадоксу
Гиббса, так как Г(Е) определяется формулой (9.18), что автоматически
обеспечивает правильный подсчет состояний.
Единственным новым результатом соотношения (9.20), который не может быть
получен в классической статистической механике, является третий закон
термодинамики. Его мы специально обсу-
Канонический ансамбль
При выводе канонического ансамбля из микроканонического ансамбля в гл. 8
мы практически не обращались к классической механике. Этот вывод применим
и в квантовой механике, за исключением
$ 3. Ансамбли в квантовой статистической механике 211
того тривиального обстоятельства, что интегрирование в Г-пространстве
должно быть заменено суммированием по всем состояниям системы:
Nlhm
{dpdq->^. (9.21)
Следовательно, канонический ансамбль определяется матрицей плотности
Р = (9-22)
где р=1/А>7'. Этот результат означает, что при температуре Т
относительная вероятность того, что система имеет собственное значение
энергии Еп, равна е~(r)Еп', последняя величина представляет собой
так
называемый фактор Больцмана. Статистическая сумма дается
формулой
Г) = 5рр=2^р?л; (9.23)
здесь надо подчеркнуть, что сумма в правой части равенства есть сумма по
состояниям, а не по собственным значениям энергии. Связь с термодинамикой
та же, что и в классической статистической механике.
Оператор плотности р определяется выражением
Р = ! I Ф"> е-**" <ф" I = 2 I Фя> <Ф" |.
где Н - оператор Гамильтона. Однако в силу свойства полноты системы
собственных состояний оператор 2 I фл) (,фл| представляет собой единичный
оператор, следовательно,
р -".-Р н (9,24)
Статистическая сумма может быть записана в форме
Qn(V,T) = Spe-P", (9.25)
где шпур должен быть взят по всем состояниям системы N частиц в объеме V.
Эта форма, не зависящая явно от представления, иногда бывает удобна для
вычислений. Среднее по каноническому ансамблю от оператора 6 выражается
формулой
<6)= Sp(g--- . (9.26)
Большой канонический ансамбль
Для большого канонического ансамбля оператор плотности р действует в
пространстве Гильберта с неопределенным числом частиц. Мы не будем
выписывать соответствующих выражений, поскольку
14*
212
Г л 9. Квантовая статистическая механика
они нам не понадобятся. Достаточно сказать, что большая статистическая
сумма дается выражением
V, Т)= ^zNQN(V, Т), (9.27)
где Qn - статистическая сумма для N частиц. Связь между 1пй и
термодинамикой выражается теми же соотношениями, что и в классической
статистической механике. Среднее по ансамблю от 6 в большом каноническом
ансамбле есть
= (9-28)
где (6)N представляет собой среднее по ансамблю (9.26) в каноническом
ансамбле для N частиц.
§ 4. ТРЕТИЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
Определение энтропии дано соотношением (9.20). При абсолютном нуле
температуры система находится в основном состоянии, т. е. в состоянии с
наименьшей энергией. Для системы с дискретными собственными значениями
энергии соотношение (9.20) означает, что при абсолютном нуле 5 = k In О,
где О - вырождение основного состояния. Если основное состояние не
вырождено, то при абсолютном нуле температуры 5=0. Если основное
состояние вырождено, но G<C/V, где N есть полное число молекул в системе,
тогда при абсолютном нуле температуры 5 .< k In N. В обоих случаях
справедлив третий закон термодинамики, так как при абсолютном нуле
энтропия на молекулу стремится к нулю (при N-> со).
Собственные значения энергии для большинства макроскопических систем,
однако, образуют почти непрерывный спектр. Для таких систем из
предшествующих рассуждений следует только, что энтропия на молекулу
стремится к нулю, когда температура Т очень низка, а именно удовлетворяет
условию ЬТ^АЕ,
где АЕ есть разность энергий между первым возбужденным состоянием и
основным состоянием. Для оценки положим
где m-масса нуклона, V = 1 см3. Тогда находим, что Т яэ5 • 10~15°К. Ясно,
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed