Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
рассеяния для одной падающей частицы, а затем сечения для всех частиц
складываются, чтобы получить физическое сечение. Основным в этом методе
является предположение, что фазы волновых функций частиц в падающем пучке
некогерентны. Таким образом, в действительности рассматривается ансамбль
частиц.
Менее тривиальным примером является описание поляризованного пучка
падающих электронов, в котором спины имеют определенное направление. Если
волновая функция электрона имеет вид
где А и В - определенные комплексные числа, то электрон обладает
ориентированным спином. Это соответствует падающему пучку полностью
поляризованных электронов. В сечении рассеяния, вычисленном с помощью
этой волновой функции, появятся интерференционные члены, пропорциональные
А*В АВ*. В случае частично поляризованного падающего пучка сначала
вычисляется сечение с волновой функцией, пропорциональной ^ q j ¦ затем с
волновой функцией, пропорциональной ^ j j; полученные сечения
складываются (после умножения на подходящие весовые множители). Это
эквивалентно описанию падающего пучка как ансамбля электронов, в кото-
208
Гл 9. Квантовая статистическая механика
ром состояния и ^ j встречаются с некоторыми относительными ве-
роятностями.
§ 2. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ
Ансамбль есть некогерентная суперпозиция состояний. Его связь с
физическим содержанием задачи была постулирована в § 1. Отметим, что
формула (9.9) содержит только квадраты модулей \Ьп\2. Следовательно,
должна существовать возможность такого описания ансамбля, когда случайные
фазы состояний вообще не входяг в рассмотрение. Эта цель достигается
введением матрицы плотности.
Прежде чем определить матрицу плотности, заметим, что оператор определен
в том случае, когда определены все его матричные элементы, взятые по
полной системе состояний. Матричные элементы оператора по другой полной
системе состояний могут быть найдены согласно известным правилам теории
представлений в квантовой механике. Следовательно, если все матричные
элементы оператора определены в одном представлении, то оператор
автоматически определен в любом представлении.
Определим матрицу плотности рпш, соответствующую данному ансамблю,
следующим образом:
рт" = (Ф,", рФ") = 6га" (9.10)
здесь Ф" и Ьп имеют тот же смысл, что и в (9.7). В этом частном
представлении р1ПП есть диагональная матрица, но в другом представлении
она может и не быть диагональной. Соотношение (9.10) определяет также
оператор плотности р, матричные элементы которого СУТЬ Рта- Оператор р
действует на векторы состояний в гильбертовом пространстве
рассматриваемой системы.
С помощью матрицы плотности формула (9.9) может быть запи-
2 (Фп. 6рФ")
(6) = -$=-----------= ^РЖ. (9Л1)
У, ('[>,!, РФ") SP Р
Символ Sp А обозначает след, или шпур, оператора А, т. е. сумму всех
диагональных матричных элементов А в любом представлении. Элементарное
свойство шпура состоит в том, что
Sp(A8)= Sp(BA). (9.12)
Отсюда непосредственно следует, что Sp А не зависит от представления:
если Sp А вычислен в одном представлении, то его значение в другом
представлении есть
Sp (SAS-1) = Sp = Sp A.
§ 2. Матрица плотности
209
Введение матрицы плотности означает лишь введение новых обозначений и не
вносит нового физического содержания. Полезность этой матрицы состоит
единственно в том, что с ее помощью соотношение (9.11) представляется в
форме, которая явно не зависит от выбора базиса (Ф"), хотя свойство
независимости от выбора базиса всегда присуще этому математическому
ожиданию.
Оператор плотности р, определяемый соотношением (9.10), содержит всю
информацию относительно ансамбля. Оператор плотности не зависит от
времени, если он коммутирует с гамильтонианом и если гамильтониан сам не
зависит от времени. Это утверждение непосредственно следует из уравнения
движения для р
lh^ = [H. р], (9.13)
которое является квантовомеханическим аналогом теоремы Лиувилля,
Формально оператор плотности р можно представить в виде
Р= 2|Ф">1^12(Ф*1. (9.14)
где |ФП) есть вектор состояния, соответствующий волновой функции Фя,
Чтобы убедиться в справедливости соотношения (9.14), покажем, что
матричные элементы этого оператора равны (9.10);
р,лп==(Фш, рФ")==(Фт|р|Ф"> = 2 (Фт|Ф*)|0* I2 Wl\*> = 6тя I *J2.
что и требовалось доказать.
Операция усреднения по времени, с помощью которой мы усредняли влияние
внешней среды па рассматриваемую систему, может быть представлена с
помощью матрицы плотности.
Формула (9.2) есть общее выражение математического ожидания любого
оператора 6 в случае произвольной волновой функции Ф. Она может быть
тривиальным образом переписана в форме
2 2 Япгпбпп,
(У, 6Ф) = n m Sp (R6)
(Ф, Ф) ^ Я(tm) SpR '
где Rnm = (cm, с") = (ф", R<t>m), причем последнее тождество является
определением оператора R, a Qnm = (Ф", 6Фт)- Хотя R может зависеть от
времени, Sp R от времени не зависит. Оператор плотности есть среднее по
времени от R:
14 К- Хуат
210
Гл. 9. Квантовая статистическая механика
