Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 63

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 154 >> Следующая

формулой
где Н - гамильтониан в присутствии поля В, В = |В|, a QN есть
статистическая сумма системы в присутствии В.
8.8. Теория парамагнетизма Ланжевена. Рассмотрим систему N атомов,
каждый из которых имеет собственный магнитный момент величиной р.
Гамильтониан в присутствии внешнего магнитного поля В есть
где Н (р, q) - гамильтониан системы в отсутствие внешнего магнитного
поля, а щ- угол между В и магнитным моментом г'-го атома. Показать, что
а) индуцированный магнитный момент системы есть
в) при высоких температурах х удовлетворяет закону Кюри, а именно Х~Г-
1. Найти коэффициент пропорциональности, который называется постоянной
Кюри.
н (р, д) - р? 2 cos
б) магнитная восприимчивость на атом равна
Задачи
201
/ = 1 i < j vij=v{\tl-tj\), e р;. и г. обозначают соответственно импульс
и координату i-й молекулы.
ir~l+v-di '
где t-= V/N и
z <*¦ r> ^- 4ln [-4 /rfV! • • ¦ d3r" П C1 +'"/].
б. Разлагая произведение JJ (1 -J- fij), показать, что
z (w> ^" 4ln (1 + S ^ +-)] =
= ln[1+-4 /+ ¦
в. Показать, что при малых плотностях, т. е. при
4 с1-
202 Гл. 8. Канонический ансамбль и большой канонический ансамбль
в хорошем приближении можно сохранить только первые два члена в ряде,
входящем в выражение для Z (к, Т). Следовательно, уравнение состояния
приближенно дается формулой
Коэффициент при 1/к называется вторым вириальным коэффициентом.
Замечания. 1) Сохранение только двух членов в ряде, входящем в Z (V, Т).
дает хорошее приближение благодаря тому, что Z (к, Т) есть логарифм ряда
в степени 1/N. Это приближение, безусловно, непригодно для самого ряда,
2) Если сохранить все члены разложения JJ (1 +/,•/)• т0 получится
последовательное разложение PvjkT по степеням 1/к. Такое разложение
называется вириальным разложением.
3) Полное вирпальное разложение трудно получить методом, описанным в этой
задаче. Оно получено в гл. 14 на основе большого канонического ансамбля
[см. (14.27) и (14.30)].
8.10. Уравнение состояния ван дер Ваальса.
а. Показать, что при малых плотностях уравнение состояния ван дер
Ваальса (2.28) принимает вид
б, Показать, что уравнение состояния неидеалыюго газа, рассмотренного в
задаче 8.9, совпадает с уравнением, приведенным в п. "а", причем
Фиг. 60. К задаче 8.11.
Задаче
203
Второй вириальный коэффициент аг{Т) был измерен как функция температуры;
результаты представлены в приведенной ниже таблице.
-4.26- 10"1 - 5,49. 10-: 1,12 • 10~' 2,05 • 10~'
Пусть потенциал v (г) взаимодействия молекул N2 имеет форму, показанную
на фиг. 60. Исходя из приведенных данных, определить наилучший выбор
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
§ 1. ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Все системы в природе подчиняются квантовомеханическим законам. В
квантовой механике всякой наблюдаемой величине в системе сопоставляется
эрмитов оператор, который действует в гильбертовом пространстве.
Состояние системы описывается вектором |4f) в том же гильбертовом
пространстве. Если \q)-собственный вектор операторов положения всех
частиц системы, то {с/1Ч;)== Ч*1(q) есть волновая функция системы в
состоянии |Ч'"). Волновая функция дает полное описание состояния.
В любой момент времени волновая функция 4f полностью изолированной
системы может быть представлена как линейная суперпозиция полной
ортонормировапной системы (или набора) стационарных волновых функций
(Фл):
? = 2сяФл. (9.1)
где сп - комплексные числа, в общем случае зависящие от времени. Индекс п
обозначает набор квантовых чисел, которые являются собственными
значениями некоторых выбранных динамических операторов системы. Квадрат
модуля |сл|2 дает вероятность того, что измерение, проведенное над
системой, обнаружит, что система обладает квантовыми числами п.
В статистической механике мы всегда имеем дело с системами, находящимися
во взаимодействии с внешней средой. Полностью изолированной системой
можно считать при этом нашу систему плюс все внешние системы. Волновая
функция этой полной системы будет зависеть как от координат
рассматриваемой нами системы, так и от координат внешнего мира. Если (Фл]
обозначает полный набор ортонормированных стационарных волновых функций
системы, то функцию 'Е формально можно представить в виде (9.1), но
коэффициент сП следует интерпретировать как волновую функцию внешней
среды. Он зависит от совокупности координат внешних систем, а также от
времени.
Пусть 6 есть некоторый оператор, соответствующий наблюдаемой величине для
данной системы. Согласно правилам квантовой механики, средний результат
большого числа измерений этой наблюдаемой
<$ I. Постулаты квантовой статистической механики 205
величины в каждый момент времени дается математическим ожиданием
2 2 с(tm)) (фп, 6ФИ)
________________________________ (9 2)
<*• *> " 2 <СЯ, С я) ' 1 J
где (сп, ст) есть скалярное произведение п-й и /n-й волновых функций
внешней среды, зависящее от времени. Знаменатель выражения (9.2), который
тождественно равен (Чг, Чг), не зависит от времени, поскольку
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed