Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 62

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 154 >> Следующая

и а это не так- Чтобы определить, какой из макси мумов больше, заметим,
что в силу (8.75), (8.84), а также тог* обстоятельства, что обеим точкам
соответствует одно и то ж< значение z', имеем
Предположим, что Якан(vB) < ЯканС^д)- Рассмотрим точку С, указанную на
фиг. 56. Из самой фиг. 56 находим
Фиг. 57. Величина г как функция v.
(8.89)
/ dv'PKiH (v') < (vA - vc) Якан (vA).
Вычитая из этого неравенства (8.89), получаем
/ dv'PKia (v') < vBPKm (vB) - г>сЯкав (vA),
198 Гл. 8. Канонический ансамбль и большой канонический ансамбль
что, согласно первоначальному предположению, означает
J dv'PKi" (V') < (Vg - Vc) Рып (Vg). vc
Как видно из фиг. 56, такое неравенство невозможно. Следовательно,
Ркгн(Ув) > PKiH(vA). Но в соответствии с (8.84) это означает, что
Ф (ув, г')>Ф{УА, г').
Аналогичным образом можно показать, что для точек А' и В' на фиг. 57 фК"
г")>фК" г").
Следовательно, пунктирные участки кривых на фиг. 53 должны быть
отброшены.
На фиг. 58 сплошная кривая изображает Ябольш(г<). Кривая совпадает с
кривой для PKaH(v), за исключением участка между и v2\ (П>
Ф и г. 58. Давление в большом каноническом ансамбле (сплошные линии).
этот участок кривой вообще отсутствует, так как не существует значений г,
которые соответствовали бы значениям V, лежащим в этом интервале. Другими
словами, в большом каноническом ансамбле система не может иметь объема,
лежащего в этом интервале. Можно, однако, провести горизонтальную линию,
соответствующую давлению Рд. При этом мы исходим из обычных соображений,
а именно считаем, что, поскольку системы в точках а, и v2 имеют
одинаковые температуру, давление и химический потенциал, эти системы
могут сосуществовать в любом отношении.
Из опыта известно, что для физических систем всегда dP/dv <1 0. Таким
образом, ситуация, обсуждавшаяся в этом параграфе, по-видимому, никогда
не реализуется. Однако величина Ркгн является результатом вычислений.
Поэтому вопрос о том, выполняется ли условие dP^Jdv 0,. является чисто
математическим и не имеет отношения к результатам эксперимента. В гл. 15
будет показано, что если мы
Задачи
произведем точное вычисление величины Ркан на основе некоторого
реалистического потенциала взаимодействия, то условие dPKiJdv < О
действительно имеет место. Это утверждение известно под названием теоремы
ван Хова; согласно этой теореме, в принципе никогда нет необходимости
прибегать к искусственному построению Максвелла. Однако точные вычисления
могут быть проведены до конца лишь в очень редких случаях (а, в
практических физических задачах- вообще никогда). В результате же
приближенных вычислений мы можем получить, что dPmJdv > 0. В этом случае,
если то же приближенное вычисление должно быть проведено в большом
каноническом ансамбле, результат находится просто путем построения
Максвелла.
Задачи
8.1. а. Получить давление классического идеального газа как функцию N, V
и Т при помощи вычисления статистической суммы.
б. Получить ту же величину, вычисляя большую статистическую сумму.
8.2. Рассмотрим классическую систему N невзаимодействующих двухатомных
молекул, заключенных в ящик объемом V при температуре Т. Гамильтониан
отдельной молекулы выберем в виде
" (Рц Р2' rI. r2) = + /,2) + 'J К I г1 ~ Г2 |2'
где Pi, р2, г,. г2 - соответственно импульсы и координаты двух атомов,
составляющих молекулу. Найти
а) свободную энергию Гельмгольца этой системы;
б) теплоемкость при постоянном объеме;
в) среднеквадратичный молекулярный диаметр < | - г2|2).
8.3. Решить предшествующую задачу, применяя гамильтониан
"(Рц Р2. г2)= 2^-(/'5 + /'2)+<ЧГ12-''о|>
где е и г0 - заданные положительные постоянные, а г12
Ответ.
Cv с xi[2(xi-2)-x(,x-4)e-x+ e~ix]
~Nk~ С*2+ 2 - e~x?
8.4. Доказать соотношение (8.27), пользуясь приведенными ниже указаниями.
а. Следует исходить из соотношения (8.25) и воспользоваться тем
обстоятельством, что в том случае, когда взаимодействием через
поверхность можно пренебречь,
"(/>>. ?1, Nd + Hfa, g2. N2) = H(p, g, N).
б. Пусть Nl + N2 = N\ тогда
d^^^
200 Гл. 8. Канонический ансамбль и большой канонический ансамбль
8.5. Исходя из соотношений (8.38) и (8.36), именно A = NkT\m - kT\nQ (г,
V, Т),
N = г * In 6 (г, И, Т),
- kT In г ==|х (химический потенциал).
8.6. а. Показать, что в большом каноническом ансамбле среднеквадратичная
флуктуация числа частиц может быть представлена в форме
б. Показать, что приведенное выражение совпадает с (8.49), используя
сначала то обстоятельство, что правая часть равна [<Э (In z)/dN]-l, а
затем обращаясь к результату задачи 8.5.
8.7. Доказать теорему ван Левена: в классической физике не существует
явления диамагнетизма.
Указания, а. Если Н (рг ..., р^; q% q^) - гамильтониан системы
заряженных частиц в отсутствие внешнего магнитного поля, то П [pj - -
(е/с) Aj pN - (е/с) AN\ qr ..., q^] есть гамильтониан той же системы во
внешнем магнитном поле В = V X А, где А,- есть значение потенциала А в
точке qr
б. Индуцированная намагниченность системы вдоль направления В дается
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed