Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
предельном случае высоких температур квантовая статистическая механика
сводится к классической статистической механике с "правильным
больцмановским подсчетом". Это будет сделано в гл. 10, § 2.
Задачи
7.1. Показать, что формулы (7.27) - (7.29) эквивалентны.
7.2. Пусть "однородный" ансамбль с энергией Е определяется как ансамбль
всех систем данного типа с энергиями, меньшими Е. Эквивалентность
соотношений (7.29) и (7.27) означает, что мы получим те же самые
термодинамические функции как из "однородного" ансамбля с энергией Е, так
и из микроканонического ансамбля с энергией Е. В частности, внутренняя
энергия равна Е в обоих ансамблях. Объяснить, почему этот, казалось бы,
парадоксальный результат верен.
174
Г л. 7. Классическая статистическая механика
7.3. Пусть имеется система N свободных частиц, в которой энергия каждой
частицы может принимать два и только два различных значения: Он Е (? >
0). Обозначим через п0 и л, соответственно числа заполнения уровней
энергии Он Е. Полная энергия системы есть U.
а. Найти энтропию такой системы.
б. Найти наиболее вероятные значения л" и п, и среднеквадратичные
флуктуации этих величин.
в. Найти температуру как функцию U и показать, что она может быть
отрицательной.
г. Что произойдет, если система с отрицательной температурой войдет в
тепловой контакт с системой с положительной температурой?
Литература', см. работу [5].
КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ И БОЛЬШОЙ КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ
§ 1. КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ
Какой ансамбль подходит для описания системы, если она не изолирована, а
находится в тепловом равновесии с другой системой ббльших размеров? Чтобы
ответить на этот вопрос, надо найти вероятность того, что система
обладает энергией Е, так как эта вероятность пропорциональна плотности
точек в Г-пространстве для интересующего нас ансамбля.
Мы исследовали аналогичную задачу в гл. 7, § 2, когда рассматривали
энергии составных частей сложной системы. В дальнейшем мы обсудим случай,
когда одна из составных частей сложной системы по своим размерам гораздо
меньше другой.
Рассмотрим изолированную сложную систему, состоящую из двух подсистем с
гамильтонианами Hl(pl, qj и Н2(р2, q2)\ подсистемы содержат
соответственно и Л/2 частиц. Примем, что но будем считать, что как Nu так
и Л/2 макроскопически велики. Мы интересуемся только системой 1.
Рассмотрим микроканониче-ский ансамбль составной системы с полной
энергией, лежащей между Е и Е -j- 2Д. В соответствии с этим энергии и Е2
подсистем должны удовлетворять условию
Е<(Е1 + Е2)<Е + 2Д. (8.1)
Хотя этому условию удовлетворяет целая область значений Ег, Е2, анализ,
проведенный в гл. 7, § 2, показывает, что существенными являются только
два значения, а именно ?\ и Е2. Примем, что Е2~^§>ЕХ. Пусть Г2(Г2) есть
объем, занимаемый системой 2 в ее Г-простран-стве. Вероятность найти
систему 1 в состоянии, заключенном в объеме dpxdqx около точки (рг, qj,
независимо от состояния системы 2 пропорциональна dp^dq^r^E^, где Е2 - Е-
Еь Поэтому с точностью до постоянного множителя плотность состояний в Г-
пространстве системы 1 есть
Р(Яо qi)~ Г2{Е -Ех).
(8.2)
176 Г л. 8. Канонический ансамбль и большой канонический ансамбль
Поскольку основной вклад дают значения около Е1 - Е1, причем ЕХ<^Е, можно
провести разложение
kin Г2(Е - Е]) = St(E - ?,) = S2 (Е) - Ei + • • • "
ttS2(E)-^-, (8.3)
здесь T есть температура большей подсистемы. Следовательно,
Г2(Е~ Ех)^ es^ike-E'lkT. (8.4)
Первый множитель не зависит от Ех и для малой подсистемы является
постоянным. В силу (8.2) и равенства Ех = H1(pv qx) можно считать, что
плотность состояний для малой подсистемы равна
р(р, q) = e-H^iVkT. (8.5)
Здесь мы опустили индекс 1, отмечающий подсистему, ибо о второй
подсистеме можно теперь забыть, за исключением того обстоятельства, что
ее температура равна Т. Большая подсистема играет роль термостата.
Ансамбль, определяемый формулой (8.5) и соответствующий системе,
температура которой устанавливается в результате контакта с термостатом,
называется каноническим, ансамблем.
Объем Г-пространства, занимаемый каноническим ансамблем, называется
статистической суммой
Qn(V, Т) ::г: J (8.6)1)
где (1=1 /кТ и где мы ввели постоянную h, имеющую размерность импульс X
расстояние, чтобы сделать величину QN безразмерной. Множитель 1/Л/!
появляется в соответствии с требованием "правильного больцмановского
подсчета". Эти постоянные не имеют значения для уравнения состояния.
Строго говоря, мы не должны были бы в формуле (8.6) интегрировать по
всему Г-пространству, так как, согласно (8.2), р(рх, qx) обращается в
нуль при Ех > Е. Однако вклад в интеграл (8.6) практически дает только
одно значение энергии Н(р, q), причем это значение лежит в области, где
справедливо приближение (8.4), поэтому интегрирование можно
распространить на все пространство. Мы докажем это утверждение в § 2.
') В формуле (8.6) вследствие наличия экспоненциального множителя
существенной областью интегрирования является тонкий слой,
