Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 48

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 154 >> Следующая

условия сохранения импульса и энергии, сводится к интегрированию по пяти
переменным в соответствии с числом переменных интегрирования в левой
части. Производя разумную замену переменных интегрирования в (6.58),
легко показать, что первый член в правой части (6.57) также содержит
симметричное ядро. Этим завершается доказательство.
§ 4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В нулевом приближении функция распределения имеет вид
(aSr )¦'' "Р (- WIv " I") •
Поправка первого порядка /(1) является решением уравнения
(А + о) /(о) = у(.) (/(о), /(1)), (6-60)
удовлетворяющим условиям
/ d^/a'(v) v 1 = 0. (6.61)
( V2 j
Используя (6.31) - (6.33) и проводя вычисления, аналогичные тем, которые
были сделаны при получении выражения (5.67), мы придем к уравнению
(4+о)/" = /">[|^и,(|ги!-4) +
+ 1a,;(u,U,-4 6,//>)]. (6 62)
где U = v - и. Положим
/(1)(v) = /(0) (v)<S(v) (6.63)
§ 4. Приближение первого порядка 151
и определим оператор ^ (Ф) следующим образом:
[ rfao(2)|v- V,|/(0) (V,)X X [ф (v,') + ф (v') - ф (Vj) - ф (v)]. (6.64)
Тогда функция Ф(у) является решением уравнения
* <ф>=j тщ и' (w "'-!)+? -V ("Л -1V'1) ¦ (6Ю>
причем должно выполняться требование
| = 0. (6.66)
Поскольку оператор ? (Ф) линеен по Ф, то должно существовать частное
решение, линейное по д$/дх1 и Л^. Далее, Ф является скаляром.
Следовательно, частное решение должно иметь вид
где R[ и - соответственно векторная и тензорная функции от 0, р и U.
Подставляя это решение в (6.65), мы находим, что Rj и Sfj должны
удовлетворять уравнениям
(6.68)
2HStJ) = (UiU,-±btJLPy
Частные решения уравнений (6.68) имеют вид
Ri = - U,F (U2, р, 0),
' \ (6.69)
sij=-\uiuj- a (ip, p. 0),
где F и G - скалярные функции. Независимыми решениями однородного
интегрального уравнения (6.65) являются функции Ф = 1, U, U2-
Следовательно, наиболее общее решение уравнения (6.65) записывается
следующим образом:
Ф= - [i S U'F + Т Л'7 (U'UJ ~ Ю 0 + а + bUt + W*\,
(6.70)
где а, и у-пять произвольных постоянных, определяемых из пяти требований
(6.66).
152
Г л. 6. Метод Чепмена - Энскога
Замечая, что
Jd3v/(0>(*V^ - у6г^2)| U 1=0, (6.71)
1 иЛ
мы можем преобразовать требования (6.66) к следующим условиям:
Jd3t//("(a + Y^2) = 0, (6.72)
р37//">>(1|^ + р,.)7/2 = 0, (6.73)
Jd3t//(°"(a + Y^2)t72 = 0. (6.74)
Умножая (6.72) на а и (6.74) на у и складывая полученные выражения,
находим
(a + v) Jd3t/(a+Y^2)/(0, = 0. (6.75)
Поскольку подынтегральное выражение не отрицательно, должно выполняться
условие а-)-у(У2 = 0 для всех U. Следовательно,
a = 0, y = 0- (6.76)
Из (6.73) получаем
1 "
' 9 дх: j
Член, пропорциональный р; в решении (6.70), можно включить в первый член,
переопределяя функцию F. Теперь мы можем написать окончательное выражение
для поправки первого порядка к функции распределения
fiu=-/w[^*LulF{U*. 0, р) +
+1 Atj [иjUj - 1 6ejuj О (U\ 0, р)] , (6.78)
где F и G являются решениями уравнений
pr{UiF) = -Ui[-^U^^], (6.79)
2 ([up, - 1 6,7ТЯ) oj = - [и,Uj - 1 6,.,.7Л). (6.80)
Далее, решениями уравнения ^(Х) - 0 являются Х=\, U, U2' Следовательно,
наиболее общим решением уравнения (6.79) является любое частное решение
плюс постоянная, которая выбирается таким
$ 4. Приближение первого порядка
153
образом, чтобы выполнялось условие J d3v/{l)U= 0. С другой стороны,
единственным решением однородного уравнения (6.80) является 0 = 0.
Следовательно, функция О однозначно определяется уравнением (6.80).
Зная функцию /(1), мы сразу же с помощью способа, описанного в гл. 5, §
6, можем найти коэффициент теплопроводности и коэффициент вязкости
К = ~ Jd*UUy"F(p, 0, О2), (6.81)
* = -&/d*uwfM о (р, е, W). (6.82)
Исходя из (6.79) и (6.80), мы можем убедиться, что как F, так и О имеют
размерность обратного времени и по порядку величины обратно
пропорциональны сечению рассеяния. В наших предыдущих упрощенных расчетах
функции F и G принимались примерно равными обратному времени свободного
пробега
(6'83>
Теперь мы видим, что эта замена качественно верна.
Первая поправка /(1) мала, если мало отношение средней длины свободного
пробега к "длине волны" изменения функций р, 6, и,
как обсуждалось в предыдущей главе. Практически первая поправка приводит
к результатам, которые оказываются в прекрасном согласии с экспериментом.
Чтобы получить количественные значения для коэффициентов К и В в частных
случаях, необходимо решить
уравнения (6.79) и (6.80) с заданным сечением рассеяния о(!2). Это
трудная задача даже для простого потенциала взаимодействия между
молекулами, например для потенциала взаимодействия твердых шариков. Мы
воздерживаемся от какого-либо обсуждения способов решения уравнений
(6.79) и (6.80)!).
¦) Способы решения уравнений (6.79) и (6.80), а также результаты для
некоторых простых потенциалов взаимодействия можно найти в книге Чепмена
и Каулинга [4].
Б. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Глава 7
КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
§ I. ПОСТУЛАТЫ КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Статистическая механика рассматривает свойства вещества в состоянии
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed