Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
./(я,(/(0). /(1> /(я,) = s -/(/(г)1/ы). (6.36)
Л/\/) = ^УЛ ?я^я) = ^[^0)(/(0,) + &/(1)(/(01. /(1,) +
+ ?2у(2)(/(°)> /(" /й))+ ] (6 37)
§ 3. Доказательство существования решений
147
Уравнение переноса Больцмана может быть записано в виде
t[(#+s&+&4+---)+°K'+v"i+w"'+ ...)-
-^[У<0)(/(0')-К-/(1)(/(0). /(1)) + ^(2,(/(0>. /(1). /(2)) + ...] = 0. ^
(6.38)
Определим теперь функции /(п) однозначно, потребовав, чтобы коэффициенты
при каждой степени ? в (6.38) в отдельности равнялись нулю. Таким
образом, для определения всех функций /(п) необходимо последовательно
решить следующие уравнения:
(0) у(о>(/(о>) = 0.
(1) -^/<°' + О/<0) = У<>1(/(0), /О').
(2) ^/(1, + -|-/(0, + Я/(1) = ;(21(/<0>. /<", /(2>), (6.39)
Уравнение нулевого порядка нам уже известно. Мы выбрали его в таком виде,
начав разложение (6.15) со степени ?-1.
Уравнение нулевого порядка в (6.39) было решено ранее и в качестве /(0)
было получено локальное распределение Максвелла - Больцмана. Это решение
определяет р, л, и 0 согласно (6.16) - (6.18). Очевидно, что л-е
уравнение содержит только функции /(п> и /<*> для k < п. Таким образом,
можно надеяться последовательно решить эти уравнения, используя в
качестве исходной функции локальное распределение Максвелла - Больцмана.
Чтобы завершить изложение формальной схемы Чепмена - Энскога, необходимо
только доказать существование решения л-го уравнения.
§ 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ
Существование функции /(0) было ранее доказано прямым вычислением ее.
Приведем доказательство существования решения л-го уравнения из (6.39).
Это уравнение имеет вид
= ). (6.40)
где предполагается, что функции /(0), /(1), .... f'n~11 известны. Искомая
функция /<л) входит только в /п). По определению,
(/(0),.... Г)=I п + J (/<л"1) I Л + • • • + J(/m IП-
(6.41)
148
Г л. 6. Метод Чепмена - Энскога
Следовательно, мы можем записать (6.40) в виде
j(fin) |/(с)) + Д/(0> | /(л> ) = Р(\) - а (V), (6.42)
где F и О определяются соотношениями
Fiy)^%fn~l) + ^ff{n-i}+ ... +%1-/<0> + оЛЛ (6.43) О (v) = У (/<л "111
/(1)) + J (/(л ~2) | /(2>) + ... +У(/,)|/("-|)) (6.44)
и являются известными функциями v. (Зависимость от г и t
подразумевается.) Используя (6.11) и определяя функцию Ф(у) равенством
/(л) (у) = /(о> (у) ф (V)_ (6.45)
получаем
/ rf4/^"(2)|v~v1|/(0)(v)/(0)(v1)[(r)(v') + (r)(vO-
- Ф (v) - Ф (V!)] = F (у) - О (у). (6.46)
Это уравнение можно записать в виде
К0 (v) Ф (v) = \0 (v) - F (v)l -(- J d3vxK (v, vj) Ф (Vj), (6.47)
K0(v) = /<°>(v) j d3vtf d2a(2)|v -v^/K" (v,) (6.48)
J d3(r),K(v. Vl)(r)(V!) = J d3(r), J dQa (2)| v - v^/10' (v) /<°> (v,) X
X [ФСуО + Ф^-Ф^,)]. (6.49)
Ниже мы покажем, что
К (у. v1) = K(v1, V). (6.50)
Следовательно, (6.47) является неоднородным интегральным уравнением с
симметричным ядром. Согласно теореме о существовании для таких
интегральных уравнений (см., например, книгу Куранта и Гильберта [3]),
решение Ф(у) существует в том и только том случае, когда неоднородный
член уравнения, а именно О (v) - F (v), ортогонален ко всем решениям
соответствующего однородного уравнения.
Решения однородного уравнения (6.47) являются просто решениями уравнения
J(/<л) I /<0>) ^(/(0> |/<л)) - 0, (6.51)
2 J d3(r), J dQa (2) | v - Vj j /(0' (v) /(0) (v,) [Ф (v') +
-4-Ф(У;) - (r)(v) - (r)(Vl)] = o. (6.52)
§ 3. Доказательство существования решений
149
Единственные независимые решения этого уравнения суть 1, v, v2.
Следовательно, решение (6.47) существует в том и только том случае, когда
Справедливость этого равенства легко показать. Из (6.43) видно, что F(x)
является коэффициентом при в разложении (d/dt D) f в ряд по степеням ?.
Далее, согласно законам сохранения,
Определения (6.31) - (6.33) для djdt выбраны таким образом, чтобы
уравнения (6.54) удовлетворялись в любом порядке, т. е.
Следовательно, условие (6.53) выполняется.
Для завершения доказательства существования решения уравнения
(6.47) необходимо теперь только доказать соотношение (6.50). Прежде
всего заметим, что в интеграле в правой части (6.49) первые два члена
идентичны, так как мы можем переставить х' и v|, не меняя значения
интеграла. Таким образом,
J d3vj/C (v, Vj)<D(vi) = = 2 J d^ J dQo (2) |v - v, | /(0) (v) /(0) (vt)
Ф (v,7) -
Второй член в правой части равенства уже содержит симметричное ядро.
Поэтому далее необходимо исследовать только первый член.
(6.53)
(6.54)
(6.55)
Прямым вычислением можно показать, что
(6.56)
- J^3(r)1/ dQcr(^)lv - v,|/(0) (v)/(0) (Vj) Ф (у,). (6.57)
130
Гл. 6. Метод Чепмена - Энскога
Для этого заметим, что J divl J dQo (Q) | v - Vj j / (v, vr v', v|) =
= J dh>, J d*v'J dsv'fi (v + Vj - v' - v;) 6 (t>2 -f ^ - t/2 - v[2) X X
R{y, vjv'. v,')/(v. V,. v'. vj), (6.58)
где R{\, Vjjv', v|) - скорость перехода (v, v,] -> (v', v'j, которая
отличается от o(Q)|v- Vj| только множителем, представляющим собой
плотность конечных состояний. Интегрирование в правой части, которое
проводится по девяти переменным, благодаря 6-функциям, содержащим четыре
