Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
приложений интерес представляют как раз решения упомянутого типа. Это
можно показать на следующем примере. Пусть функция / является решением
уравнения переноса Больцмана. Она может зависеть от времени как явным
образом, так и неявно- через локальные плотность, скорость и температуру.
Таким образом, мы можем представить производную по времени от функции / в
виде двух членов:
Воспользовавшись временно упрощающим предположением •) относительно
(д//дОстолк' мы можем записать уравнение переноса Больцмана в виде
(6.1)
(6.2)
где
(6.3)
') Эю допустимо, поскольку нас интересует только качественный результат.
§ 2. Разложение Чепмена - Энскога
143
Пусть функция /j является решением уравнения
?(/i) = -/-'~/W . (6.4)
Тогда Д явно не зависит от времени. Определяя /2 соотношением / - /i + Л'
(6-5)
мы легко находим, что /2 удовлетворяет уравнению
(6.6)
Если можно пренебречь членом L (/2), то получаем
откуда сразу же следует
/2(6.8) Таким образом, спустя время т решение фактически определяется
только функцией /,, которая явно от времени не зависит.
§2. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧЕПМЕНА - ЭНСКОГА
Запишем уравнение переноса Больцмана в виде
^ + = (6.9)
где
a/=(v-vr + JL.vv)/ (ело)
и где для любых функций / и g, зависящих от V,
J(f\g) = j tPvif dQo (S)| v - v, | [/(v')^(v') -/ (v) ^(Vj)], (6.11)
причем O(Q)-дифференциальное сечение рассеяния для бинарного столкновения
|v, Vjj -> |v', vj]. Мы будем искать решения уравнения (6.9), которые
зависят от времени только неявно через величины
я (г. t)=j <i3vf(г, v, (). (6.12)
u(r. 0 = 7/dV(r, V, Ov- (6.13)
0(r, 0 = 7 / <Pvf{r, V, О3-1 v-u|*. (6.14)
Предположим далее, что изменение этих функций пренебрежимо мало на
расстояниях, сравнимых со средней длиной свободного пробега,
144
Гл. 6. Метод Чепмена - Энскога
и в течение интервалов времени, сравнимых со средним временем свободного
пробега. Предлагаемый здесь метод решения является методом
последовательных приближений.
Вводя формально параметр ?, который в конце вычислений будет положен
равным единице, запишем
/ = {(/(0> + ;/'1) + &7(2) + 57(3) + •••), (6.15)
где функции /<л> определены таким образом, что они уменьшаются по мере
роста п. Параметр ? не имеет физического смысла и введен только для того,
чтобы можно было проследить порядок членов в разложении. Основное
преимущество метода Чепмена - Энскога состоит в том, что он дает
практический способ последовательного определения функций /(л).
Потребуем, чтобы выполнялись следующие равенства:
/ iPvfto=n,
i j d3Ti/(0)v = u,
~ f d%/(0) -|v - u|2 = 0,
а также
j d?vf{n) I v | = 0 (пф 0)
I v2 I
Таким образом, соотношения (6.12) - (6.14) оказываются выполненными. Это
не единственный, но, очевидно, возможный способ удовлетворить
соотношениям (6.12) - (6.14).
В соответствии с разложением (6.15) законы сохранения (5.21)-(5.23) могут
быть записаны в виде
(6'20)
е-*"
(6.16)
(6.17)
(6.18)
(6.19)
§ 2. Разложение Чепмена - Энскога
145
Pf) = т J dh/f <"> (v, - и() (Vj - Uj),
Ч(1п) = т1 d3vf{n) (vi - ui)Iv - ul2-
(6.23)
(6.24)
Чтобы получить самосогласованную схему последовательных приближений,
определим функцию /(п) так, что в том случае, когда мы пренебрегаем всеми
функциями /<*>, Pf), qf> с k > п, мы получаем я-е приближение для функции
распределения и для гидродинамических уравнений. Чтобы найти такое
определение, разложим уравнение переноса Больцмана на ряд
последовательных уравнений для /('!) описанным ниже способом.
Запишем прежде всего
Это разложение согласуется с (6.15), так как D -линейный оператор.
Рассмотрим далее производную df/dt. По предположению, / зависит от
времени t только через функции р, и и 0. Следовательно,
Чтобы разложить (6.26) в бесконечный ряд по степеням ?, мы должны
разложить функции df/dp, dp/dt и т. д. Очевидно, будем иметь следующие
разложения:
Разложение производных dp/dt, da-Jdt и dQ/dt должно быть определено таким
образом, чтобы оно согласовывалось с законами сохранения. Формально
потребуем, чтобы всякий раз, когда оператор d/dt действует на функции р,
иг или 0, он рассматривался бы как следующая бесконечная
последовательность операторов:
D/=|(D/(0,+?D/(1'+?2D/<2 + (6.25)
df __________ df_ dp . df du-t . df_ _d0
dt dp ~dt ' dui dt d0 dt '
(6.26)
(6.27)
(6.28)
(6.29)
(6.30)
10 K. Xyat
146
Г л. 6. Метод Чепмена - Энскога
Определение оператора djdt следует из л-го приближения i конов
сохранения:
д0 д . .
¦ЗГР = --51Г^ fPsO (я>0),
д0 dut 1 dPfj
dt И<' Ui дх^ m p dxj '
д 1
~dt Ui~~~ ~p (Л > 0)'
д0 _ Й0
dt ^ U> dxj
дпй_ 2 1K
3 p dxt 3 p A'ipli}'
(6.33)
-+AuP?j)
С помощью этих определений мы получаем формальное разложение функции
дfjdt в ряд по степеням ?
-э-=г(т+сж+?2ж+ •¦¦)(/'"+?/"'+W(tm)+...). (6.34)
Исследуем далее член столкновений в уравнении переноса Больцмана.
Согласно (6.11) и (6.15), имеем
J{f\f) = ^ji Ё^+л/rf3*i/rfao(Q)|v-Vl|x
X [.f[n) (vO fm) (vO - fn) (v) /"'(vOI = f S S r ¦H nJ(fin) I fm)).
0 m=0 (6 35)
Введем определение
