Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 29

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 154 >> Следующая

непосредственно следует, что траектория представляющей точки есть либо
простая замкнутая кривая, либо кривая, которая никогда не пересекает сама
себя. Более того, траектории двух различных представляющих точек также
никогда не пересекаются.
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема Лиувилля
(4-37)
Доказательство. Поскольку полное число систем в ансамбле сохраняется, то
число представляющих точек, покидающих некоторый объем Г-пространства за
1 сек, должно быть равно скорости уменьшения числа представляющих точек в
том же самом объеме. Пусть (о - произвольный объем в Г-пространстве и S -
его поверх^ ность. Введем обозначение v для бАГмерного вектора с
компонентами
v=(Pi- Pi Psn' Я\' Qi 9зn)
и обозначение п для вектора, локально нормального к поверхности S; тогда
получим
4t $ rf(°p=/rfsn> vp.
С помощью теоремы Гаусса, обобщенной на бМ-мерное пространство,
преобразуем это уравнение к виду
Jrf<o[^- + V.(vp)]=0. (4.38)
где V представляет собой бДГмерный градиент
V= / д д д • д д д ^
' др2 ' " " dpw ' dqx' dq2 dq3N )'
92
Г Л- 4. Равновесное состояние разреженного газа
Поскольку щ - произвольный объем, подынтегральное выражение в (4.38)
должно быть тождественно равно нулю. Следовательно,
з N
-1 = v • (VP) = S 1ж(PiP) + (*iP)] =
=S(^- л+ж?')+2р(^+ж-)*
Согласно уравнениям движения (4.36), имеем
ж+ж=0 3">-
Следовательно,
3N
= Pt + lkfrii)'
что и требовалось доказать.
Теорема Лиувилля эквивалентна следующему утверждению:
Ж = <4'39>
так как в силу уравнений движения р{ и qt являются функциями времени.
Геометрическая интерпретация этой теоремы состоит в следующем. Если
проследить движение некоторой представляющей точки в Г-пространстве, то
мы обнаружим, что плотность представляющих точек в ее окрестности
остается постоянной. Следовательно, распределение представляющих точек
движется в Г-пространстве как несжимаемая жидкость.
Какова связь между ансамблем, представляющим газ, и функцией
распределения / для газа? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, что /
(р, q, t) определяет плотность молекул в р-пространстве. Иначе говоря,
число молекул газа, которые в момент времени t находятся в элементе
объема р-пространства вблизи точки (р, q), равно /(р, q, t)dspdsq. Если
состояние газа задано, то функция / определяется однозначно, по если
задана функция /, то состояние газа не определяется однозначно. Например,
рассмотрим газ, в котором молекула 1 находится в точке х, а молекула 2-в
точке у. Такое состояние отличается от состояния, в котором эти молекулы
переставлены друг с другом. Эти два состояния соответствуют двум
различным представляющим точкам в Г-пространстве, но оба эти состояния,
очевидно, обладают одной и той же функцией распределения. Таким образом,
заданной функции распределения соответствует не одна точка, а некоторый
объем в Г-пространстве.
§ 3. Метод наиболее вероятного распределения
93
Объем в Г-пространстве, соответствующий заданной функции распределения /,
называется объемом, занимаемым функцией /. Если ансамбль задан (т. е.
задана плотность распределения р(р, q, t), то представляющие точки
распределены в Г-пространстве заданным образом. Следовательно, объем,
занимаемый функцией /, определяется ансамблем.
Применимость приведенных рассуждений к описанию физических объектов
основана на следующих предположениях.
а. Если о системе ничего не известно, кроме того, что она находится при
определенных макроскопических условиях, то эта система с равной
вероятностью может существовать в любом состоянии, удовлетворяющем этим
макроскопическим условиям. Иными словами, заданному макроскопическому
состоянию соответствует определенный ансамбль систем.
б. Равновесная функция распределения является наиболее вероятной функцией
распределения и определяется как такая функция распределения, которая
занимает максимальный объем в Г-пространстве.
Определение наиболее вероятного распределения инвариантно относительно
канонического преобразования переменных (р, q), так как и
макроскопические условия, и элемент объема clwpd3Nq инвариантны
относительно канонических преобразований.
Предположения "а" и "б" не были доказаны на основе общих законов
молекулярной динамики, из которых они должны логически следовать.
Подтверждением их справедливости является совпадение результатов,
полученных на основе этих предположений, с экспериментальными данными.
Практически найти равновесную функцию распределения можно следующим
образом:
а. Выбираем ансамбль, который соответствует рассматриваемому
макроскопическому состоянию.
б. Выбираем произвольную функцию распределения и, подсчитывая число
систем в ансамбле, которые обладают данной функцией распределения,
находим объем, занимаемый ею в /'-пространстве.
в. Варьируем функцию распределения произвольным образом до тех пор, пока
не найдем функцию, занимающую максимальный объем. Эта функция и будет
равновесной функцией распределения.
Выполним подобную процедуру для разреженного газа. Пусть газ, состоящий
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed