Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 27

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 154 >> Следующая

распределения. Для этого вычислим давление, которое определяется как
средняя сила, с какой газ действует на единицу площади идеально
отражающей поверхности, соприкасающейся с газом. Пусть диск, изображенный
на фиг. 35, представляет такую единичную площадку; ось, нормальную к этой
поверхности, примем за ось Молекула может столкнуться с этим диском
только в том случае, когда ^-компонента ее скорости vx положительна.
Тогда при отражении от диска она потеряет импульс 2mvx. Число молекул,
отразившихся от диска за 1 сек, равно числу молекул, содержащихся
(4.17)
Полагая v0=0, получаем
е = J
(4.18)
(4.19)
Гл. 4. Равновесное состояние разреженного газа
в цилиндре, изображенном на фиг. 35, у которых скорость vx > 0. Число их
равно vxf0(\) cPv при > 0. Таким образом, давление газа, имеющего нулевую
среднюю скорость, равно
Р= J (2mvx) vxfa (v) d3v =
= 2mC j dvxv-xe~AVjc J dvye~Avy J dvze M'z -
= mC J d3vvixe-Az'2 = J d3w2e~Av:!, (4.20)
где последнее равенство обусловлено тем, что функция /0(v) зависит только
от j v|. так что средние значения квадратов компонент ско-
4/
Диск
единичной
площади
Фиг. 35. К вычислению давления газа.
рости v2x, v2 и v\ равны друг другу и равны !/з от среднего
квадрата скорости v2 - v2 -|- v2 -|- v2. Наконец, мы видим, что
Я = | С f d3Vjmv2e-A"! = jnE. (4.21)
Это и есть уравнение состояния. Экспериментально температура Т
определяется из уравнения P = nkT, где k - постоянная Больцмана.
Следовательно,
е = у kT. (4.22)
Выражая постоянные через температуру Т, среднюю скорость v0 и плотность
числа частиц п, получаем следующее выражение для равновесной функции
распределения разреженного газа в отсутствие внешних сил:
/о(у) = n (w)>/! <v-v°,w. (4.23)
Эта функция называется распределением Максвелла - Больцмана; она
определяет вероятность обнаружения молекулы со скоростью v в газе при
равновесных условиях').
§ 2. Распределение Максвелла - Больцмана
87
Если в газ ввести идеально отражающую стенку, то функция /0(v) остается
неизменной, так как /0(v) зависит только от величины
скорости V, которая не меняется при отражении от стенки.
Для газа с v0 = 0 принято определять наиболее вероятную скорость v
молекулы как такую величину v, при которой функция
4nv2f(y) достигает максимума. Легко найти, что
(4-24)
Среднеквадратичная скорость (r)е|( определяется формулой
Г Г rf3!W2/0 (V) I'7' ---jr
viK= 4----------------- =l/-. (4.25)
[ J (V) J V m
При комнатных температурах для газа, состоящего из молекул 02, эти
скорости по порядку величины равны 105 см/сек.
График функции 4яг/2/0(у) приведен на фиг. 36. Мы замечаем, что функция
/0(v) не обращается в нуль, как это должно
О S о0.
Фиг. 36. Распределение Максвелла - Больцмана.
было бы быть, когда скорость v становится больше скорости света с. Это
объясняется тем, что при описании движения молекул мы пользовались
динамикой Ньютона вместо более правильной релятивистской динамики. Однако
эта ошибка ничтожно мала при комнатных температурах, так как v<^c.
Температуру, выше которой следует пользоваться релятивистской динамикой,
можно грубо оценить, полагая v = c, откуда получаем kT я" тс2.
Следовательно, для молекул Н2 эта температура составляет около 1013°К.
Рассмотрим теперь равновесное распределение разреженного газа, когда на
него действует внешнее консервативное силовое поле, определяемое функцией
F=-Vcp(r). (4.26)
Г л. 4. Равновесное состояние разреженного газа
Мы утверждаем, что в этом случае равновесная функция распределения имеет
вид
/(г, v) = /0(v)e-*W/"r (4.27)
где /0(v) определяется соотношением (4.23). Чтобы доказать это, покажем,
что функция (4.27) удовлетворяет уравнению Больцмана. Очевидно, что df/dt
= 0, так как функция (4.27) не зависит от времени. Далее, {df/dt)CTOJ1K =
0, так как ср(г) не зависит от скорости v:
= e~2<r j d3v2 j d2a(2) X X | V2 - V1 I [fo (v0 /о (v0 - /о (v2) /о (V,)]
- 0.
Следовательно, необходимо только проверить, что
(vVr + ^--Vv)/(r, v) = 0.
Это равенство тривиально. Мы можем включить множитель ехр( - ф/кТ) в
(4.27) в определение плотности п и записать
/(Г, У) = л(г)(^)*/*e-"(v-v.)V2"r (4.28)
и(г)= jd3vf(r, \) - пе-ч(г)>кт. (4.29)
В заключение построим термодинамику разреженного газа. Мы определили
температуру равенством (4.22) и нашли уравнение состояния. По самому
определению давления работа, совершаемая газом при увеличении его объема
на dV, равна PdV. Внутренняя энергия определяется следующим образом:
U(T) = NE = -jNkT, (4.30)
т. е., очевидно, зависит только от температуры.
Соотношение, аналогичное первому закону термодинамики, определяет теперь
количество тепла, поглощенного системой:
dQ = dU -fPdV. (4.31)
Оно показывает, что тепло, сообщаемое системе, переходит в механическую
работу PdV и энергию молекулярного движения dU. Из уравнений (4.31) и
(4.30) определим теплоемкость газа при постоянном объеме
С" = |Л7Л. (4.32)
§ 3. Метод наиболее вероятного распределения
Второму закону термодинамики соответствует //-теорема Больцмана, в
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed