Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
где а (2) - дифференциальное сечение рассеяния в системе центра масс и 2
- угол между направлением векторов v2 - v( и - v[. Скорость R уменьшения
функции распределения получается в результате суммирования (3.28) по всем
значениям v2 и умножением полученного результата на пространственную
плотность молекул в элементе объема dsvl пространства скоростей
/? = /(г, Vp t) J d3v2 J dQo(Q) |vi - v2| /(r, v2, t). (3.29)
Выполняя интегрирование по углу 2, можно ввести в полученное выражение
полное сечение рассеяния. Мы предпочитаем, однако, оставить выражение
(3.29) в том виде, как оно написано.
Подобным же образом можно вычислить величину R [см. (3.11)]. Рассмотрим
для этого столкновения типа jv', v^} ->- {Vj, v2j, где скорость V[
считается фиксированной. Пусть на молекулу, имеющую скорость Vp падает
пучок молекул со скоростями v2. Плотность потока падающих молекул равна
Число столкновений указанного выше типа в течение времени bt равно
Скорость увеличения R функции распределения определяется интегралом
Rd^= f d3v' f dOo'( 2)|v'-v;![/(r, v;. t)d3v[]f(r, v', /). (3.32)
Так как скорости Vp v2, Vp относятся к столкновениям, обратным по
отношению друг к другу, то а' (2) = а (2). Из (3.14) и (3.16) получаем
') Здесь (vp v2] -> (v|, v2) обозначает бинарное столкновение молекул, в
котором скорости молекул до столкновения равны V! и \3, а после столк-
/(r. v', t) d3v'2 \ v2 - vi I -
(3.30)
/(г, v', t^d3v'2\\'2- Vl'|0'(2)dQ".
(3.31)
d3Vid3V2 = d3v[d.3v 2,
новения равны и v2.
Гл. 3. Проблемы кинетической теории
следовательно,
я = J d3v2 j dQo (2) I Vj - V21 / (r> v|, t)f[r. v', t), (3.33)
Необходимо отметить, что здесь скорость V[ задана, в то время как Vj и \2
являются функциями Vj, v2 и 2.
Объединяя найденные выражения для R и R, получаем
[d/(V"°LK=R-R==!d^ fdQa (Q> i vi - v21 (/;/2 - /i/2).
где o(2)-дифференциальное сечение рассеяния для столкновения
и введены следующие сокращенные обозначения:
Подставляя (3.34) в (3.8), получаем уравнение переноса Больцмана
которое является нелинейным интегро-дифференциальным уравнением для
функции распределения /. В том случае, когда молекулы обладают спином,
это уравнение остается справедливым, если все спиновые состояния
одинаково населены, так что / не зависит от спинового квантового числа.
Таким образом, проблему кинетической теории газов мы свели теперь к
математической проблеме решения этого уравнения.
Если бы мы не пользовались предположением о молекулярном хаосе, то мы не
могли бы выразить величину (df/dt)столк через саму функцию /. Вместо
этого выражение для (df/dt)столк содержало бы двухчастичную
корреляционную функцию, не зависящую от /. Следовательно, вместо
уравнения (3.36) мы получили бы для функции / уравнение, связывающее ее с
двухчастичной корреляционной функцией, В общем случае мы можем получить
уравнения, связывающие я-ча-
(3.34)
/, = /(г, v" t),
f2 = f(г, v2, t).
f'i = f(r- V,'. О-
(3.35)
/г=/(г- v;. о-
= /<"/(2) j Vl - v.21 (/'/; - /,/,), (3.36)
Задачи
81
стичную корреляционную функцию с ("+ 1)-частичной корреляционной
функцией. Таким образом, в более общем случае уравнение (3.36) заменяется
системой Л/ связанных уравнений!).
Задачи
3.1. Привести несколько численных примеров, показывающих, что условие
(3.1) выполняется для реальных газов при комнатных температурах.
3.2. Качественно объяснить, почему все взаимодействия между молекулами
являются электромагнитными по своей природе.
З.а Рассматривая столкновение между идеально упругими твердыми сферами
диаметром а,
а) вычислить дифференциальное сечение рассеяния на основе классической
механики в системе координат, в которой одна из сфер первоначально
покоилась;
б) сравнить полученный результат с квантовомеханическим. Рассмотреть как
случай низких энергий, так и случай высоких энергий2).
3.4. Рассмотреть смесь двух газов, состоящую из молекул массой т и М, на
которые действуют соответственно внешние силы F и Q. Обозначая
соответствующие функции распределения через / и g и предполагая, что
важны только бинарные столкновения, вывести уравнение переноса Больцмана
для этой системы.
') См. работу Н. Н. Боголюбова в книге [1]. (Автор имеет в виду книгу: Н.
Н. Боголюбов, Проблемы динамической теории в статистической физике, М.,
1946, перевод которой на английский язык помещен в книге [1]. - Прим.
ред.)
2) См , например, книгу Шиффа [2].
Глава 4
РАВНОВЕСНОЕ СОСТОЯНИЕ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА
§ 1. Я-ТЕОРЕМА БОЛЬЦМАНА
Определим равновесную функцию распределения как не зависящее от времени
решение уравнения переноса Больцмана. Мы увидим также, что эта функция
является предельной формой функции распределения при времени t,
стремящемся к бесконечности. Предположим, что внешние силы отсутствуют.
Тогда можно допустить, что функция распределения не зависит от г, т. е.
ее можно обозначить через /(v, t). Равновесная функция распределения,
обозначаемая через /0(v), является решением уравнения df (v, t)/dt = 0.
Согласно уравнению переноса Больцмана (3.36), функция /0(v) удовлетворяет
