Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
d3v, d3v2 = d3v[ d3v'r (3.16)
Полная скорость V не представляет большого интереса. Действительно, если
нашу систему координат перемещать с постоянной ско-
Ф и г. 30. Геометрическая интерпретация сохранения энергии и импульса при
бинарных столкновениях.
ростью -V, то в новой системе координат нужно будет рассматривать только
относительные скорости и и и'. Такая система координат называется
системой центра масс. На фиг. 31 показано, как наблюдатель видит процесс
столкновения в лабораторной системе координат и в системе центра масс.
В системе центра масс нам достаточно сосредоточить свое внимание на
движении одной молекулы, так как вторая молекула движется подобно первой,
но в противоположную сторону. Таким образом, проблема сводится к
эквивалентной проблеме рассеяния молекулы на фиктивном неподвижном
силовом центре, который на фиг. 31 представлен точкой О. Эта молекула
приближается к центру О со скоростью и; расстояние молекулы до прямой,
параллельной ее начальной скорости и проходящей через центр О, называется
прицельным параметром Ь. Выберем систему отсчета так, чтобы центр О был
расположен в начале координат, а ось г была направлена параллельно
вектору и. Так как |и'| = JuJ, то конечное состояние моле-
74
Гл. 3. Проблемы кинетической теории
кулы будет определяться углами рассеяния 0 и ф, где 0 - угол между
вектором и' и осью z и ф - азимутальный угол вектора и' относительно оси
г, как это изображено на фиг. 32; оба эти угла
Фиг. 31. Процесс бинарного столкновения при наблюдении в лабораторной
системе координат и в системе центра масс.
в совокупности обозначаются через 2. Этим завершается кинематическое
описание бинарных столкновений.
Динамика бинарных столкновений описывается дифференциальным сечением
рассеяния о (2), к определению которого мы сейчас
Фиг. 32. Рассеяние молекулы на фиксированном силовом центре О.
•перейдем. Скорости молекул до столкновения vlt v2 еще не дают
однозначного определения столкновения, поскольку они не определяют
прицельный параметр. Задавая скорости и v2, мы тем самым задаем целый
класс столкновений с одной и той же системой центра масс. На фиг. 32 их
можно изобразить траекториями со всеми воз-
Лабораторная система
Система центра масс
§ 2. Бинарные столкновения
75
можными прицельными параметрами (и, следовательно, со всеми возможными
углами рассеяния). Этот класс столкновений удобно представить себе, если
вообразить, что на силовой центр О падает непрерывный пучок частиц с
начальной скоростью и, равномерно распределенных в пространстве.
Обозначим через I число молекул в падающем пучке, пересекающих за 1 сек
единичную площадку, ортогональную к направлению пучка. Величина I
называется падающим потоком частиц. Дифференциальное сечение рассеяния а
(2) определяется таким образом, что 7a(2)d2 есть число молекул,
рассеиваемых за 1 сек в направлении, лежащем в элементе телесного угла
dQ. (3.17)
Как видно из фиг. 32,
Io(Q)dQ=Ibdbd((. (3.18)
Дифференциальное сечение рассеяния a (2) имеет размерность площади; его
геометрический смысл состоит в следующем:
Число молекул, рассей- Число молекул в падаю-
ваемых в элемент угла dQ _ щем пучке, пересекающих
за 1 сек за 1 сек площадку вели- (3 1 У)
чиной cr(2)d2.
Полное сечение рассеяния определяется интегралом по всем углам от о(2)
аподв= Ja(2)rf2. (3.20)
Подразумевается, что как a(2), так и аполн зависят от [и[.
Дифференциальное сечение рассеяния является непосредственно измеримой
величиной. Если потенциал взаимодействия между молекулами известен, то
сечение a (2) также может быть вычислено. Эти вычисления должны
проводиться квантовомеханическим путем, так как при столкновении волновые
пакеты молекул обязательно перекрываются, поэтому систему в этот момент
нельзя рассматривать как классическую. Для наших целей достаточно
рассматривать величину а(2) как заданную характеристику молекул
изучаемого газа.
Детальный вид о (2) определяется потенциалом взаимодействия между
молекулами. Однако сечение рассеяния обладает определенными свойствами
симметрии, которые справедливы в общем случае. Они являются следствием
того, что взаимодействие между молекулами по своей природе является
электромагнитным и, следовательно, обладает основными свойствами
инвариантности электромагнитных взаимодействий. Перечислим существенные
для нас свойства симметрии. Для этой цели удобно ввести обозначение
a^, y2j vj, v2)==a(2), (3.21)
76 Гл. 3. Проблемы кинетической теории
где vx, V., и vj, v.j имеют го же значение, чго п и (З.Шд а Q - угол
между направлением векторов v2 - Vj и
а) Инвариантность относительно обращения времени
° (Vl' '\ i'V V')- 'Ч 'V - V.J I - V,, - v2).
Это соотношение выражает то свойство, чго при изменении знака времени на
обратный каждая молекула повторяет свой путь в обратном порядке,
б) Инвариантность относительно пространственного вращения и отражения:
°(v,. v2|vj, vj)=o(vj, v;|<, v'*). (3,24)
Здесь Vя' обозначает вектор, получающийся из вектора v после
