Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
и импульсами. vx
Фиг. 28. Инвариантность элемента объема при движении вдоль фазовой
траектории в ц-пространстве.
При наличии столкновений (т. е. когда а > 0) равенство (3.6) должно быть
изменено. Напишем уравнение
/ (г+ vW,v+ -?-". / + ") = /(г. V, ')+(4г)столк6'- <3'7)
которое определяет член (d//d7)CT0J1K, учитывающий столкновения. Разлагая
левую часть уравнения с точностью до членов первого порядка по Ы, мы
получаем в пределе Ы-> 0 уравнение для функции распределения
(l + V ¦ V, + i • т.) / (г. V. О - (49^ . (3.8)
где операторы Vr и Vv являются соответственно градиентами в пространстве
координат г и скоростей v. Это уравнение не имеет смысла, пока мы явно не
определим член столкновений (df/dt)CT01IK. Именно при определении этого
члена оказывается существенным предположение о том, что система
представляет собой разреженный газ.
Явный вид члена (д//д(\Т0ЛК можно получить, если вернуться к его
определению (3.7). Рассмотрим фиг. 29, где квадрат А пред-
$ I. Формулировка проблемы
71
ставляет элемент объема р-пространства вблизи точки {г, v, 7), а квадрат
В -элемент объема вблизи точки (r-(-v67, v -j- (F/m)6t, 7-(-67), причем в
дальнейшем б7 устремляется к нулю. В течение интервала времени 67
некоторые молекулы в элементе объема А будут удалены из него в результате
столкновений. Будем считать элемент объема А настолько малым, что любое
столкновение молекулы, находящейся в нем, будет приводить к ее выбиванию
из этого элемента объема А. Выбитые молекулы не попадут в элемент
\В
Ау---------
Фиг. 29. Элемент объема в р-пространстве в моменты времени 7 и t + 67.
объема В. Вместе с тем имеются такие молекулы, находящиеся вне элемента
объема А, которые в результате столкновений в течение интервала времени
67 попадут в элемент объема А. Эти молекулы окажутся и в элементе объема
В. Таким образом, число молекул в элементе объема В в момент времени 7-(-
67 при 67 0 равно перво-
начальному числу молекул в элементе объема А в момент времени 7 плюс
полное изменение числа молекул в Л в результате столкновений в течение
интервала времени 67. Это утверждение и является содержанием уравнения
(3.7) и может быть записано в виде
(^-)столк "=(?-/?)67, (3.9)
где
Rbtd3rd3v- число столкновений в течение времени от 7 до 7-(-67, в которых
одна из молекул до столкновения лежит в объеме d3rd3v вблизи точки (г,
v), (3.10)
R67d3r d3v - число столкновений в течение времени от 7 до 7-(-67, в
которых одна из молекул после столкновения лежит в объеме d3r d3v вблизи
точки (г, v). (3.11)
Строго говоря, мы совершаем здесь небольшую ошибку. Например, в
определении (3.10) неявно предполагается, что если молекула относится к
числу молекул, о которых говорится в определении, то сталкивающаяся с ней
молекула к этому числу не относится. Эта ошибка пренебрежимо мала ввиду
малости элемента объема d3v.
Чтобы продвинуться далее, предположим, что газ является сильно
разреженным, так что можно рассматривать только бинарные столкновения и
пренебрегать возможностью одновременного столкновения
72
Гл. 3. Проблемы кинетической теории
трех или большего числа молекул. Это значительно упрощает вычисление R и
R. Естественно перейти теперь к изучению природы бинарных столкновений.
§ 2. БИНАРНЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
Рассмотрим упругое столкновение в вакууме двух молекул с нулевым спином,
имеющих равную массу. Как мы предположили, молекулы являются волновыми
пакетами с достаточно хорошо определенными пространственными координатами
и скоростями, так что начальные и конечные состояния при столкновениях мы
можем описывать классически.
Обозначим скорости молекул до столкновения через V, и v2, а скорости
молекул после столкновения - через v( и v2. Из закона сохранения импульса
и энергии следует
h Г+Ы2=К|2+К]2. (ЗЛ2)
Вводя новые перемень
V=y(v1 + v2), (313)
u = (v2-v,) ке образом переменные V', и', мы перепи-
(3.14)
V = V',
|u| = |u'|.
Эти условия удобно представить геометрически, как это показано на фиг.
30. Мы видим, что в результате столкновения вектор и поворачивается и
занимает положение и', не изменяя своей величины. Поэтому столкновение
полностью определяется заданием векторов V, и и углов 0, ф, которые
вектор и' образует с вектором и. Углы 0, ф называются углами рассеяния.
Предположим, что векторы V и и несколько изменились и стали равны
соответственно V + rfV и u-j-du при неизменных углах 0, ф. Иными словами,
рассмотрим столкновение, в котором начальное состояние молекул несколько
изменено. Тогда V' и и' изменятся и будут равны соответственно V'-j-d\' и
Поскольку V = V',
то d\ = d\'. Так как 0 и ф фиксированы, то dw - dw'. Следовательно, мы
получаем
d3V d3u = d3V' d3u\
(3.15)
§ 2. Бинарные столкновения
73
где d3V = dVxdVydVг и т.д. Из (3.13) мы сразу же получаем, что d3V d3u =
d3vld3vi\ подобное же равенство справедливо для штрихованных переменных.
Таким образом, если при фиксированных углах рассеяния мы немного изменим
vt и v2, то v( и v2 изменятся таким образом, что
