Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 21

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 154 >> Следующая

стенки сосуда заменяются идеализированными поверхностями, действие
которых на падающие молекулы газа сводится к простому упругому отражению.
В теории нас не будет интересовать движение отдельных молекул. Вместо
этого мы будем интересоваться функцией распределения молекул / (г, V, t),
определенной таким образом, что произведение
дает число молекул, которые в момент времени t находятся в элементе
объема d3r вблизи точки г и имеют скорости, лежащие в элементе объема dk)
в пространстве скоростей вблизи точки V. Элементы объемов d3r и d3v не
следует понимать как бесконечно малые величины в буквальном
математическом смысле. Они являются элементами объема, имеющими конечные
размеры, достаточно большие для того,
(3.1)
/(г, v, t)d3rd3v
(3.2)
5*
Гл. 3. Проблемы кинетической теории
чтобы содержать очень большое число молекул, и в то же время достаточно
малые для того, чтобы по сравнению с макроскопическими размерами их можно
было по существу считать точками. Возможность такого выбора видна из
следующего примера. При обычных условиях в газе содержится около 3 ¦ 1019
молекул в 1 см3. Если выбрать элемент объема rf3r" 10_1° см3, который для
нас так мал, что может быть назван точкой, то он все же будет содержать
примерно 3 • 109 молекул.
Чтобы сделать определение функции / (г, v, t) более точным, рассмотрим
шестимерное пространство, называемое р-пространством и
Фиг. 27. Шестимерное р-пространство молекулы.
определяемое координатами1) (г, v) отдельной молекулы. Схематически р-
пространство изображено на фиг. 27. Точка в этом пространстве
представляет состояние молекулы. В любой момент времени состояние всей
системы из N молекул представляется N точками в р-пространстве. Пусть
вокруг каждой точки в р-пространстве построен элемент объема d3rdh>, как
это показано на фиг. 27 для точки О. Если подсчитать число точек в этом
элементе объема, то, по определению, оно будет равно /(г, v, t)d3rd3v.
Если размеры элементов объема выбраны так, что каждый из них содержит
очень большое число точек, скажем 109, и если плотность этих точек резко
не меняется при переходе от одного элемента к соседнему, то /(г, v, t)
можно рассматривать как непрерывную функцию своих аргументов. Если
покрыть все р-пространство такими элементами объема, то мы приближенно
сможем написать
2/(г, v, /)rf%rf3r^ |/(г, V, t) d3vd3r, (3.3)
i называем совокупность
$ /. Формулировка проблемы
где суммирование в левой части происходит по всем центрам этих элементов
объема, а интеграл в правой части имеет обычный смысл. В дальнейшем эта
приближенная замена всегда будет предполагаться.
Определив функцию распределения, запишем для нее условие нормировки
J/(r, v, t)d3rd3v^=N, (3.4)
которое показывает, что в объеме V содержится N молекул. Если молекулы
равномерно распределены в пространстве, то / не зависит от координаты г.
Тогда
J/(r, v, t)d3v = ~. (3.5)
Задача кинетической теории состоит в определении функции распределения /
(г, V, t) для заданного потенциала взаимодействия между молекулами.
Предельный вид функции распределения /(г, V, /) при t->oо определяет все
равновесные свойства системы. Поэтому в задачу кинетической теории входит
также и построение термодинамики разреженного газа.
Чтобы выполнить эти задачи, прежде всего необходимо найти уравнение,
которому удовлетворяет функция распределения. Функция распределения
изменяется с течением времени, так как молекулы непрерывно входят и
выходят из данного элемента объема в р-пространстве. Предположим, что
столкновения между молекулами отсутствуют (т. е. о = 0). Тогда молекула,
которая в момент времени t имела координаты (г, v), в момент времени
будет иметь коор-
динаты [r-(-v6/, v + (F/m)6/], где F - внешняя сила, действующая на
молекулу, и т. - масса молекулы.. Мы можем считать Ы истинной бесконечно
малой величиной. Таким образом, все молекулы, которые в момент t
содержались в р-пространстве в элементе объема d3r d3v вблизи точки (г,
v), в момент времени /-(-6/ окажутся в элементе объема d3r' d3v' вблизи
точки [r + v6/, v -(- (F/m)6/]. Следовательно, в отсутствие столкновений
мы получаем равенство
/|r-|-v6/, v -{-б/, t -\-btjd3r' d3v' = / (т, v, t)d3rd3v,
которое сводится к следующему:
f[r + vbt, v-f-J-бС /-f")=/(r, v, t), (3.6)
так как d3rd3v - d3r'd3v'. Равенство элементов объема легко доказать,
если предположить, что внешняя сила F зависит только от положения
рассматриваемой точки. В любой момент времени t мы можем выбрать элемент
объема d3r d3v в виде шестимерного куба.
70
Гл. 3. Проблемы кинетической теории
Тогда будет достаточно доказать, что площадь любой проекции этого куба,
например dx dvx, не меняется. Простые вычисления показывают, что эта
проекция, первоначально имевшая форму квадрата, через время Ы становится
параллелограммом той же площади, как это изображено на фиг. 28.
Инвариантность элемента объема сохраняется и при более общих условиях,
когда вместо переменных г, v система описывается обобщенными координатами
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed