Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
добавленной частицы может только увеличить QN_V Полный объем, доступный
частице, больше величины Л/а3, умноженной на некоторое число. Поэтому
нетрудно видеть, что
const (у)3^-,.
Следовательно,
Qn-i< [const Qn.
Подставляя это в (В. 12), получаем
(В. 15)
Путем подстановки соотношения (В. 15) в (В. 9) находим
QN<y)<$N<y> у°)еШ' <B-16>
что в сочетании с (В. 7) доказывает лемму 2.
§ 2. ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ЯНГА И ЛИ
Теорема 1. lim (V~'lnS(2, V)\ существует при всех z > 0. Этот предел не
зависит от формы объема V и является непрерывной не-уменьшающейся
функцией z.
Принимается, что при V -> со площадь поверхности V увеличивается не
быстрее чем V '¦
Доказательство. Предположим, что V есть совокупность кубов. Внутри V
построим у ячеек объемом V0, как это описано в § 1. Можно получить равно
пригодные построения, образуя ячейки внутри ячеек, а затем ячейки внутри
ячеек, которые находятся внутри ячеек, и т. д., как показано схематически
на фиг. 136. Производя такие разбиения п раз, получаем последовательность
ячеек все меньших и меньших размеров. Обозначим последовательность
объемов ячеек в порядке возрастания через W0, Wr,, .... Пусть объем U7q
столь велик, что объем коридора всегда мал в сравнении с ним.
Теоремы Янга и Ли
Тогда можно написать
U/, = 8U70,
W2 = 82Г0,
и/п = 8пи/0 = К0,
V = yV0.
При фиксированном W0 переход к пределу при V ществить, переходя к пределу
при п->оо.
-Ячейка
+
-Ячейка в ячейке
-Ячейка (в ячейке)2 -Ячейка (в ячейке)
136. Последовательное построение ячеек.
Fv = -L\nQ(z, V). Fi==Jr\n6(z,Wi) (k = 0, 1,
Тогда, согласно лемме 1, имеем
+ (А = 0. 1
Fn<Fv<F"JrI^r>
где М дается соотношением (В. 4) и М"<
33"
8 W{\
(В. 17) ю осу-
СВ. 18)
(В. 19) (В. 20)
(В. 21)
508
Приложение В
Таким образом, (В. 19) и (В. 20) могут быть соответственно записаны в
виде
|Л* + 1-/%1<^7Г (* = 0,1....я), (В. 22)
\Fv~Fn\<~[р (В. 23)
где с и с' являются конечными постоянными. С помощью соотношения (В. 22)
нетрудно показать, что
(В. 24)
где с" - конечная постоянная. Следовательно, согласно критерию сходимости
Коши'), последовательность F0, Ft, ... сходится к пределу при любом
фиксированном значении W0. Иными словами, существует lim F". В
соответствии с (В. 23)
Jlim />= lim Fn. (В. 25)
Поэтому существует lim Fv. Если объем V не является совокуп-
V оо
ностью кубов, можно поместить V между двумя вложенными друг в друга
объемами Vu V2, каждый из которых является совокупностью кубов. По лемме
1 имеем liml/V,- [ = 0 при И-уоо.
Следовательно, lim Fy = lim />,; последний предел существует и не зависит
от формы V.
Предел (В. 25) есть возрастающая функция z, потому что он справедлив для
любого значения V |см. (15.8)]. Он является непрерывной функцией от z\
это следует из того факта, что производная ограничена при любом значении
V
(В.26)
последнее следует из (15.9) и (15.11). Это завершает доказательство
теоремы.
§ 3. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ЯНГА И ЛИ
Теорема 2. Пусть R есть область в комплексной плоскости z, содержащая
отрезок положительной действительной оси и не содержащая корней уравнения
S (z, К) = 0 при любом V. Тогда для всех z, лежащих в области R, величина
К_11пб(г, V) равномерно сходится к пределу при V -> оо. Этот предел
является аналитической функцией z для всех z, лежащих в области R,
') См. книгу Уиттекера и Ватсона ]63].
Теоремы Янга и Ли
509
Доказательство. Внутри области R опишем окружность D конечного радиуса с
центром, лежащим на положительной действительной оси. Докажем сначала
теорему для области D.
Пусть Fv{z) = У-11п <sL(z, V). Согласно (15.8),
Fv (z) = 4 Ц1+2ФОО+ +zNmQ"m<y)\.
Отметим следующие свойства:
а. Для каждого конечного V функция Fv (z) является аналитической в
области D, так как (3 (z, V) не имеет корней в D.
б. По теореме 1 для г, расположенных вдоль непрерывного контура в D, lim
Fv(z) существует.
в. Для любого V и для любого г, лежащего в области D, функция |Fv(z)\
ограничена величиной, не зависящей от У и д. В этом можно убедиться
следующим образом. Поскольку <г*оо>о.
|/V(z)K-irln[l+|z|Q1(y)+ ... +| z\NmQNm (V')].
В области D имеем |д|<а, где а - действительное число. Поэтому
|/\,(z)|<-iln[l +4QiflO+ ... +сЛ.<2л,т(У)].
Правая часть ограничена, потому что она ограничена для любого конечного V
и потому что в силу теоремы 1 она стремится к пределу при У->оо.
Доказываемая теорема согласно теореме сходимости Витали ¦) справедлива в
области D.
Внутри области R построим круг D', центр которого лежит в D. Поскольку мы
доказали теорему для D, свойства "а", "б" и "в" справедливы теперь и в
D'. Таким образом, теорема справедлива в D'. Повторяя этот процесс,
распространим теорему на всю область R,
>) Теорема Витали. Пусть /" (z) есть последовательность функций, каждая
из которых регулярна в области D. Пусть |/" (г) | < М для каждого п и г
из D. Пусть fn(z) стремится к пределу при п-+ оо на множестве точек,
имеющем предельную точку внутри D. Тогда /" (л) равномерно стремится к
