Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
малой. Фейнман приводит следующие качественные соображения относительно
конфигураций А к В. Разделим объем системы на две части 1 и 2. При
конфигурации А в части 1 содержится больше частиц, чем в части 2, а в
конфигурации В частицы, наоборот, сосредоточены в основном в части 2, как
показано на фиг. 128. Для конфигурации А волновая функция Ч*1 должна
иметь положительный
Фиг. 128. Наглядное изображение волновой функции Фейнмана (18.11).
максимум; для конфигурации В волновая функция Ч*1 должна иметь
отрицательный минимум. Следовательно, состояние Ч*1 выглядит как
состояние, в котором имеется звуковая волна очень большой длины. В
соответствии с этим Фейнман постулирует форму
'P = S/(ry)'Po. (18.11)
где функцию /(г) надо определить из условия минимума энергии состояния ЧС
Далее будет объяснено, почему (18.11) может описывать звуковую волну.
Важно отметить, что эти соображения непригодны, если мы имеем не
симметричную, а антисимметричную волновую функцию. Тогда при перестановке
частиц волновая функция не остается неизменной, а меняет знак. Требование
минимальности величины
(Ф, HW)
('Г, Ф)
определяет функцию Фейнман приводит различные примеры
возможных форм функции Чг, чтобы подтвердить вывод о том, что все формы,
отличные от (18.11), приводят к энергиям, отличающимся от энергии
основного состояния на конечную величину. Эти примеры читатель может
найти в указанных выше оригинальных работах Фейнмана [47, 48].
Пусть
=?/*/>.
(18.12)
426
Г л. 18. Жидкий гелий
(Н - Е0) ? = HFWо - E0FWa =
= - ¦& Ё К7'7') ^ + 2 W • (W! + [(w - ?о> 4/01F-
Последний член равен нулю согласно (18.10). Поэтому можно написать (Н -
Е0) У = -J- | J Vy • (pwVyF) j , (18.13)
т"). (18.14)
Проведем далее следующее вычисление:
4Г = (У. (Н - Я0) V) = - V/. • (p"V,F) =
=-ir 2 /rf3A> (V/-F,) ¦ (V/-F) p*=
1=N
= 2 / [ V* (r/} • V (r;)] p*-
Поскольку есть симметричная функция координат г, rN,
У="ёг /rf3"r [Vi/*(ri) •Vi/ (ri)1 p* = isr /rf3rV/t (r)'v/ (r)>
(18.15)
где величина
Po= f d3r2 . . . d3rNpN (18.16)
постоянна для достаточно больших систем. Определим g ^ (Ч?, Ч?) = j d3N
rF'I:pN =
= 2 dWrf (Г,)/(Г,)Рл,=
=2 fd3Nr 1 / (г'->!2 p^v+S / rf3A,^' (r"} / (r'} P"=
i = I j
= NPofd3r\f(r)\3+N(N-l) f d3r1d3r2/t(r1)/(r2)p2(r1, r2),
§ 3. Теории Ландау и Фейнмана
427
p2(r" r2)= J d3r3 . . . d3rNpN. (18.18)
Определим парную корреляционную функцию D(| г,- г2|) формулой 0(|Г1-г2|)
= 1-|] JJ d3Nr'b (г; - г,) 6 (V. - г2) Рлг =
= Л^б(г, - т^)-]- ~ N (N - 1) Рг С г:, г2); (18.19)
она равна отнесенной к единице объема вероятности найти частицу в точке
Г], если известно, что другая частица находится в точке г2, в системе,
находящейся в основном состоянии. Тогда
c9=Pof d3/TdV2/*(r1)/(r2)D(|r1-r2|). (18.20)
Чтобы определить / (г), минимизируем If при условии, что g - \: bW -
Nhdbg =0, (18.21)
где со - неопределенный множитель Лагранжа. Производя вариацию, находим
дифференциальное уравнение для функции / (г):
L у V (г) - Ы f d3r'D (г') / (г + г') = 0,
которое решается, если мы потребуем,
/ (г) = const еп
- ha J d3r'D (г') е1ч'т = 0,
где к - произвольный отличный от нуля вектор. Соответствующее значение со
обозначается символом со,,1):
(18-24)
где S(k) есть фурье-образ функции ?>(/¦):
S(ft)= J d3rel*rD(r). (18.25)
Подставляя (18.23) в (18.15), находим, что энергия возбужденного
состояния для данного к есть
Ек = Е0-+Гтч. (18.26)
') Формула (18.24) с явным выражением для функции S (к) в случае
слабонеидеального бозе-газа была получена Н. Н. Боголюбовым и Д. Н.
Зубаревым [ЖЭТФ, 28, 129 (1955)].- Прим. ред.
Гл. 18. Жидкий гелий
Физический смысл соотношений (18.23) и (18.26) состоит в следующем: для
данного вектора к Ф 0 функция (18.23) минимизирует энергию, причем
энергия определяется соотношением (18.26). Имеет смысл рассматривать к
как квантовое число, поскольку соотношение (18.23) определяет собственную
функцию оператора полного импульса системы с собственным значением Лк.
Действительно, воспользовавшись (18.23),
Фиг. 129. Фурье-образ парной корреляционной функции жидкого Не4
(экспериментальная кривая).
приходим к следующей волновой функции, описывающей возбужденное
состояние:
Фк = const ^ е1к'г^ЧГ0. (18.27)
Очевидно, что
РоЛ = у J У,Фк = ЛкФк, (18.28)
где Ропер есть оператор полного импульса. Волновая функция Фк
ортогональна к Ф0, так как в силу (18.27) и эрмитовости опера-
тор3 Ропер
AkOFh. Ф0) = (Ропер1Рк. Фо) = ОРк. Ро"ер%)-0. (18.29)
При к Ф 0 имеем
(фк, Ф0) = 0. (18.30)
Чтобы найти шк, надо подставить в (18.24) экспериментально най-
денную функцию S{k), график которой представлен на фиг. 129. Тогда
получаем кривую зависимости энергии йшк от волнового числа k,
изображенную на фиг. 130. Количественно она значительно отличается от
кривой Ландау, полученной путем согласования параметров кривой с опытными
данными по теплоемкости, однако "ротонная" часть имеет качественно
правильный характер. Количественные различия связаны,
§ 3. Теории Ландау и Фейнмана
