Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 124

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 154 >> Следующая

теории Ландау, но проливает больше света на природу элементарных
возбуждений в жидком гелии Кратко сформулируем основные выводы теории
Фейнмана.
а. Волновая функция состояния жидкого Не4, в котором присутствует одно
элементарное возбуждение, приближенно выражается формулой N
= const ^ еЛ 7 = i
где 'Fq - волновая функция основного состояния, a hk - импульс
элементарного возбуждения. Как мы выяснили, при k ->• 0 эта волновая
функция описывает флуктуацию плотности жидкости, т. е. звуковую волну.
Следовательно, фононы являются квантованными звуковыми волнами. При
конечных k волновая функция *Fk описывает внутреннее движение более
сложного типа. В частности, функция 'Fk приблизительно верна при k k0. т.
е. в ротонной области.
б. При очень низких энергиях все возбужденные состояния жидкого Не4
учитываются волновой функцией 4V. Все другие типы возбуждений должны быть
отделены от основного состояния конечной энергетической щелью. Этот вывод
получается на основании правдоподобных рассуждений, в которых главную
роль играет статистика Бозе.
Пусть гамильтониан жидкого Не4 выражается формулой
"=-^-2 V'+ 2 v4' <10>
где т - масса атома Не4, a vlj = v(\rl - г^|) - потенциальная энергия
взаимодействия между 7-м и /-м атомами, Будем называть конфигурацией
набор значений координат г,, .... rN. Волновая функция основного
состояния 'F0 удовлетворяет уравнению
H40 = E0W0, (18.10)
где Е0-наименьшее возможное собственное значение энергии. Поскольку атомы
Не4 являются бозонами, функция 'F0 должна быть
симметричной по г, rN. Мы можем выбрать ее действительной
и положительной. Тогда эта функция единственна. Качественно можно
считать *F0 приближенно постоянной для всех конфигураций, кроме
тех конфигураций, которые соответствуют "соприкосновению" двух атомов. В
этом случае
424
Гл. 18. Жидкий гелий
Возможность выбрать функцию Ч'',, действительной следует из того факта,
что Н есть действительный оператор. Если 41 есть некоторая собственная
функция Н, тогда W* - тоже собственная функция, соответствующая тому же
самому собственному значению. Отсюда следует, что Ч^^-Ч*^ и являются
собственными функциями, соответствующими одному собственному значению.
Следовательно, все собственные функции Н могут быть выбраны
действительными.
Чтобы показать возможность выбора положительной функции Ч^ (см. [46] ),
заметим, что Ч',0 минимизирует выражение (Ч'о, HW0). Пусть Фо^ЛЧ^! есть
симметричная функция '). Нетрудно показать, что (Ф0, И Ф0) = (Y0, HW0).
Следовательно, Ф0 минимизирует выражение (Ф0, НФ0). Это значит, что,
заменяя Ф0 на Ф0 + 6Фо> гДе 6Фо- произвольная малая вариация, получаем б
(Ф0, ЯФ0) = 0. Отсюда вытекает, что Ф0 удовлетворяет (18.10). Поскольку
потенциал конечен, первые производные Ф0 должны быть непрерывными. Отсюда
следует, что функция 4f0 никогда не меняет знака, так как в противном
случае существовала бы узловая поверхность, на которой не только Фс, но и
все ее первые производные должны были бы обращаться в нуль. Поскольку
(18.10) есть уравнение в частных производных второго порядка, функция Ф0,
а, следовательно, и Ч',0 должны были бы тождественно равняться нулю.
Таким образом, Ч',0 никогда не меняет знака, и мы можем выбрать эту
функцию положительной.
Единственность функции 4f0 следует из того обстоятельства, что волновая
функция основного состояния никогда не меняет знака. Если Чг, иЧ'Ч- две
нормированные волновые функции основного состояния, тогда Ч*', - Ч'Ч
также является волновой функцией основного состояния, не меняющей знака.
Это значит, что одна из функций всегда больше другой. Значит, Ч*', и 4f2
не могут быть обе нормированными, если они не равны друг другу,
Рассмотрим теперь слабо возбужденные состояния жидкости. Волновая функция
Т возбужденного состояния должна быть ортогональной к 'Fq и должна
оставаться симметричной по отношению к перестановке любой пары координат
частиц. Поскольку функция положительна для всех конфигураций, функция Т
должна быть положительной для половины конфигураций и отрицательной для
другой половины конфигураций, так как только в этом случае она может быть
ортогональной к Ч^. Пусть А обозначает конфигурацию, соответствующую
наибольшему положительному значению гР, а В - конфигурацию,
соответствующую наименьшему отрицательному значению T. Как выбрать А к В,
чтобы энергия состояния Т была наименьшей возможной?
Конфигурация задана, когда заданы значения всех координат
г, Гд,. Чтобы изменить конфигурацию, мы изменяем некоторые
или все значения координат г,, .... Гд,. Координаты, соответствующие
конфигурациям А и В, должны быть различными, но они не могут отличаться
только перестановкой, так как волновая функция инвариантна относительно
такой перестановки. При этом координаты, соответствующие конфигурациям А
н В, должны раз-
') Заметим, что именно в этом пункте существенно используется стати-
§ 3. Теории Ландац и Фейнмана
425
личаться насколько это возможно, но так, чтобы кинетическая энергия была
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed