Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
кривой давления паров.
Двухжидкостная модель имеет большое значение при исследовании свойств
жидкого Не4, так как она проста и хорошо описывает наблюдаемые на опыте
явления. Однако она не позволяет полностью решить проблему; это
объясняется двумя основными причинами:
а) отсутствием полного гидродинамического описания жидкого Не4;
б) отсутствием объяснения природы и свойств двух компонент Не II с точки
зрения молекулярной теории ¦).
Далее мы излагаем две теории, которые частично устранили указанные
трудности.
Теории Ландау и Фейнмана являются попыткой дать молекулярное обоснование
двухжидкостной модели вблизи абсолютного нуля.
Теория Ландау основана на том экспериментальном факте, что удельная
теплоемкость Не II при 7 -0 убывает пропорционально Г3. Такое поведение
теплоемкости характерно для газа фононов. В согласии с этим Ландау
постулировал, что квантовые состояния жидкого гелия вблизи основного
состояния могут быть описаны как газ невзаимодействующих элементарных
возбуждений. Уровни энергии этих квантовых состояний выражаются формулой
где ftwk - энергия элементарного возбуждения с волновым числом к, а
{rckj-набор чисел заполнения. Принимается, что элементарные возбуждения
являются бозонами, так что \ = 0, 1, 2, . . . Очевидно, на числа
заполнения должно налагаться некоторое ограничение совершенно так же, как
в теории кристаллической решетки Дебая. Это ограничение неизвестно;
однако оно не может играть важной роли для низкотемпературных свойств
жидкости, так как при этих темпе-
*) Вывод уравнений двухжидкостной гидродинамики, исходя из основных
принципов молекулярной динамики, был дан в работе: Н. Н. Боголюбов, К
вопросу о гидродинамике сверхтекучей жидкости, Препринт ОИЯИ, Р-1395,
Дубна, 1963.- Прим. ред.
3. ТЕОРИИ ЛАНДАУ И ФЕЙНМАНА
?" = ?0+24*k,
(18.1)
§ 3. Теории Ландау и Фейнмана
421
ратурах имеется только небольшое число возбуждений. Поэтому можно
рассматривать каждое пу как независимое число.
Энергия йсок должна быть определена так, чтобы из (18.1) следовало
правильное, согласующееся с экспериментом, выражение для удельной
теплоемкости вблизи абсолютного нуля. Из того факта, что при Т -> 0
теплоемкость изменяется пропорционально Т3, следует, что при | к | -> 0
должно быть hti>k -> he | к|, где с-скорость звука
Ьшк
в жидком гелии при абсолютном нуле температуры. При конечных температурах
выражение для удельной теплоемкости содержит дополнительный член типа ехр
(-ДjkT), где Д - постоянная величина. Следовательно, для больших значений
|к| величина сок должна вести себя как энергия элементарных возбуждений с
"энергетической щелью"!). Ландау постулировал, что
(А<С*о).
А +
Й2 (А - й0)2 2 а
(к " А0),
(18.2)
где Л = [ к |2), причем постоянные с, Д, А0 и а должны выбираться так,
чтобы получить согласование с экспериментальной кривой теплоемкости.
Поведение функции /;сок изображено на фиг. 127. Линейная часть кривой
йсо]{ названа фононной частью, часть кривой вблизи k0 -
') См. задачу 13.4.
) Мы полагаем, что использование одной буквы k и для обозначения
волнового числа, и для обозначения постоянной Больцмана не может привести
к недоразумениям.
422
Г л. 18. Жидкий гелий
ротонной частью. Термин "ротон" был введен Ландау, который вначале думал,
что эта часть кривой соответствует возбуждениям со спином й, отличным от
фононов. Теперь (как мы увидим далее) стало очевидным, что дело идет о
двух участках одной и той же непрерывной кривой.
Удельную теплоемкость при низких температурах можно тривиально вычислить,
исходя из формулы (18.2), так как мы имеем систему невзаимодействующих
бозонов, число которых не сохраняется. Термодинамическое среднее от чисел
заполнения пк равно
Ы=тйЬ7- ом)
где р=1/&7\ Внутренняя энергия жидкости равна
v Т й2йш,,
y = ?0 + S4('!h) = ?o+iJ dk7^~[' (18'4)
где V - объем, занимаемый жидкостью. Для удельной теплоемкости при
постоянном объеме получаем
J-C - 1 dU ¦ ПН
здесь N есть число атомов Не4 в жидкости. При низких температурах
существенный вклад в интеграл (18.4) дают только фононная и ротонная
части энергетической кривой йак, Поэтому удельную теплоемкость можно
приближенно представить в виде суммы двух членов: фононного и ротонного
вкладов. Так,
1 ^ 2n*v(kT)* /1ССЧ
-д^Чонон- 15йзс-з ¦ (18.6)
где v = VjN, а т. - масса атома Не4. Ротонный вклад можно вычислить, если
рассматривать kT/А как малую величину. Получаем 1 2/ст *пЛ2№-л,*г
Сротон^- п- . (18.7)
Nk рот(tm) (2я),/!й (йГ)3/'
Полная удельная теплоемкость равна сумме (18.6) и (18.7). Согласовывая
получающуюся формулу с экспериментальными данными, Ландау получил
следующие значения постоянных:
с = 226 м/сек,
-?- = 9° К,
* (18.8)
ka=2k~\
§ 3. Теории Ландау и Фейнмана
423
Постоянная с, представляющая собой скорость фононов, должна
согласовываться со скоростью звука в жидком Не4. Прямые измерения
последней, экстраполированные к абсолютному нулю, дали величину 239 ± 2
м/сек.
Теория Фейнмана [47, 48] приводит к результатам, сходным с результатами
