Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 108

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 154 >> Следующая

нетривиальный пример фазового перехода, который может быть рассмотрен
математически строго2).
Рассматриваемая в модели Изинга [35] система представляет собой
распределение N фиксированных точек, называемых узлами решетки, которые
образуют п-мерную периодическую решетку (п= 1, 2, 3). Геометрическая
структура решетки может быть, например, кубической или гексагональной.
Каждому узлу решетки сопоставляется спиновая переменная st (i=l, ..., N),
которая принимает численные значения либо -(-1, либо -1. Никаких других
переменных не существует. Если = -(- 1, то говорят, что /-Й узел имеет
спин, напра-
вленный вверх, если же st - - 1, то спин I-го узла считают
') Точнее, модель Изинга есть модель ферромагнитного домена. Обсуждение
физических свойств и атомного строения ферромагнетиков (и
антиферромагнетиков) не входит в задачу нашей книги. Сведения по этим
вопросам можно найти в любой книге по физике твердого тела.
2) Другой моделью, допускающей строгое математическое рассмотрение,
является модель Бардина, Купера и Шриффера в теории сверхпроводимости.
См. Н. Н. Боголюбов, Physica, Suppl., 26, 1 (December, 1950). - Прим.
ред.
362
Гл. 16. Модель Изинга
направленным вниз. Данная совокупность чисел {s( j определяет
конфигурацию всей системы. Энергия системы в конфигурации,
характеризуемой совокупностью {S(j, по определению, есть
где индекс / означает, что рассматривается модель Изинга, а символ (/у)
обозначает пару спинов ближайших соседних узлов. Между (lj) и {ji) нет
никакого различия. Поэтому сумма по (//} содержит уЛ/у'2 членов, где у-
число ближайших соседей любого данного узла. Например,
14 (двумерная квадратная решетка),
6 (трехмерная простая кубическая решетка),
8 (трехмерная объемноцентрированная кубическая решетка).
Энергия взаимодействия ?,у и внешнее магнитное поле В являются заданными
постоянными. Геометрия решетки входит в задачу через величины у и ?гу.
Ради простоты мы будем рассматривать модель для случая изотропного
взаимодействия, так что все е,;- равны заданному числу ?. В результате
энергия системы принимает вид
Случай ? > 0 соответствует ферромагнетизму, а случай е < 0 -
антиферромагнетизму. Рассмотрим только случай е > 0. Статистическая сумма
имеет вид
Qi(B, Г)= 2 2 ... (16.2)
где каждая переменная s,- независимо от других принимает значения -|-1 и
-1. Следовательно, всего в этой сумме имеются 2N членов.
Термодинамические функции получаются обычным образом из свободной энергии
Гельмгольца
Приведем некоторые, наиболее интересные для нас термодинамические
функции:
Е, {S,} = -? 2 slSj - В 2 S,.
(16.1)
А, (В, Т) = - kT In Q, (В, Т).
(16.3)
(намагниченность), (16.6)
(внутренняя энергия), (16.4) (теплоемкость), (16.5)
§ I. Определение модели Изинга
где ( ) обозначает усреднение по ансамблю. Величина /ИДО, Т)
называется спонтанной намагниченностью. Если эта величина отлична от
нуля, система ферромагнитна.
Конфигурация системы характеризуется /V числами st sN,
но значение энергии (16.1) в общем случае вырождено. В этом можно
убедиться, записав выражение (16.1) в другом виде. Пусть в любой заданной
конфигурации решетки N + и представляют собой соответственно полное число
спинов, направленных вверх, и полное число спинов, направленных вниз,
причем Л/_=Л/- Nt. Каждая пара
Ф и г. 104. Построение, используемое при выводе соотношений (16.7).
ближайших соседей может относиться к одному из трех типов: (++), (-----)
или (-)-), так как----(-)---) не отличается от (-(-). Обо-
значим числа таких пар соответственно через (Vf+, N__, N + _. Числа эти
не являются независимыми друг от друга, а также от N+t N_. Соотношение
между ними может быть найдено следующим образом. Выберем некоторый узел
решетки со спином, направленным
вверх, и соединим его линиями со всеми ближайшими соседями. Всего будет у
таких линий. Повторим эту процедуру для другого узла решетки со спином,
направленным вверх, а затем для всех остальных узлов со спином,
направленным вверх. По завершении этого процесса полное число линий будет
равно yN Построение такого рода для двумерной квадратной решетки показано
на фиг. 104. Полное число линий можно подсчитать иначе, замечая, что
между
каждой парой (+-(-) имеются две линии, между каждой парой
(-)---) - одна линия, а между каждой парой (---) линий нет совсем.
Поэтому yNj = 2N++-\-N+_. Это соотношение остается справедливым, если
поменять местами и "-Следовательно, получаем систему соотношений
yN+ = 2N+ + +(V+_,
yN_ = 2N__+N + _, (16.7)
N+ + N_=N.
364
Гл. 16. Модель Изинга
из которых можно исключить любые три из пяти чисел 7V+, N_, N+ + , N__,
N+_. Исключая 7Vf_, N__, N_, получаем N+_ -\N+ - 27V+ + ,
N_=N - TV,, (16.8)
N__ = -i yN + TV, + - yN+.
Заметим, далее, что
2 slsj = Ni + + 7V__-7V + _ = 4N++ - 2yN^ +
jv d6-9)
2s, = W+-W.= 27V + - N.
Подставляя (16.9) в (16.1) и учитывая (16.8), находим
E,(N+, N.,+) = - 4e7V++ + 2(ev - B)N+ - (-jVe - B^N. (16.10)
Таким образом, хотя конфигурация системы зависит от N чисел, энергия
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed