Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 107

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 154 >> Следующая

приближения функции QN (К) к функции QN (V, К0) зависят от отношения
V0/V. Рассмотрим переход к пределу (15.20) в сочетании с переходом К0->со
при условии, что каждая ячейка постоянно содержит огромное число частиц.
Этот переход можно совершить различными способами. Ради определенности
будем переходить к пределу, фиксируя удельный объем v, а затем бесконечно
увеличивая число частиц N:
N -у со,
V=vN, (15,29)
К0 = \fN.
Мы видим, что при этом переходе к пределу V0 возрастает значительно
медленнее V. Пусть
fN(v) = 7?lnQN(V.VJ. (15.30)
7^) = (15.31)
причем в (15.30) величины V и У0 определяются соотношениями (15.29). Из
(15.26) - (15.28) следует, что
1/х(")-/И")1<^. (15.32)
где а' - конечное число, не зависящее от v и N:
o' = const-^efk(r°/a)\ (15.33)
С помощью процедуры, аналогичной описанной в приложении В, § 2, можно
установить следующее:
а) функция fm (v) существует;
б) функция fa>(v) существует и равна /"(и);
в) функции fN (v) и fN (г>) равномерно сходятся к общему пределу при N-у
со.
На основе соображений, приведенных в приложении В, § 2, можно утверждать,
что fx(v) и /"(v) не зависят от формы объема.
23*
356
Гл. 15. Фазовые переходы
Из равномерности сходимости, которая следует из того факта, что а' не
зависит от v, вытекает
Л!- Ж fs W = Ж~^ = Ж /- (")¦ (15.34)
Используя (15.23), находим
РР""((r)) = -ЙГ/"("). (15.35)
Таким образом, чтобы исследовать PKm(v), достаточно исследовать функцию
fN (v).
Определим fN{v), вычисляя сначала (^(К, К0), где объемы V и К0 зависят от
N в соответствии с (15.29). Система со статистической суммой Qn{V, К0)
образована невзаимодействующими ячейками, каждая из которых содержит
неопределенное число частиц. Если в г-й ячейке имеется Nt частиц, то
статистическая сумма будет произведением индивидуальных статистических
сумм для каждой ячейки. Чтобы получить QN(V, V0), надо только сложить все
такие произведения, записанные для всех возможных распределений частиц по
индивидуальным ячейкам. Следовательно,
Qn (V", V0) = Д Qn> (V0) (V0) . . . <?jvv (V0), (15.36)
где сумма по наборам целых чисел {Л^-} берется с учетом условия =
(15.37)
Можно переписать (15.36) в виде
Qn (У< ^о) = Д Qn (Уо) [ Д QKt(VQ) ¦ ¦ ¦ <?уу?(Ко)] • (15.38)
где сумма 2 берется с учетом условия
2yv,. = /v - п. (15.39)
Сравнивая выражение в скобках в правой части (15.38) с правой частью
(15.36), нетрудно заметить, что
Qn (У- ^о) = Д Qn (Vo)Qs-n (У " V0. Ко). (15.40)
§ 4. Теорема ван Хова
Поскольку частицы взаимодействуют как твердые сферы, существует конечное
число и, такое, что
Qn(v о) = 0 (n>nV0). (15,41)
Следовательно, индекс п. в (15,40) таков, что для каждого члена суммы
?<Ф--* 0 при N -> со. (15.42)
Таким образом, при N -> оо можно разложить QN_n(V-VQt V0) по степеням п,
сохраняя только члены первого порядка по п:
In [QN-n<y-V0, y0)]=(/V-")7(-^^)"
<*NfN<v)-V0-bfN(v)+n(v-^- 1 )fN(v). (15.43)
Подставляя это выражение в правую часть (15.40), получаем следующее
приближенное уравнение, которое становится точным при
N -> оо:
ехр \N/n (г/)] га
" ехр [N/n (г-)] ехр [ _ у" JL. д, ((r))] х
X |) Q" <VQ) exp [я (г- -A - 1) fN (г-)] , exp jV0 f (w)] " ? Qn (У0) exp
[n (г- - 1) fN (г-)] , (15.44)
где в силу (15.41) можно распространить сумму по п до бесконечности.
Логарифмируя обе части (15.44), получаем неявное уравнение для fN (v)
^-/"(xO^Inf; z"Qn(V0),
0 n =o (15.45)
In Z fss (v 1 ] /л/ ((r)),
Гл. 15. Фазовые переходы
где К0 определяется соотношением (15.29). Дифференцируя обе части
уравнений (15.45), находим
L n=o J (15.46)
дг t , s 1 дг dv2 f N ((r)) ~ vz dv '
Это показывает, что z может быть определено также из уравнения Наконец,
переходя к пределу N -> и используя (15.23), получаем
Р^кан (") = ^ 1"-^ |П Ё ^ (К)] '
г-° со т (15.48)
Это и есть теорема ван Хова.
В. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Глава 16 МОДЕЛЬ ИЗИНГА
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДЕЛИ ИЗИНГА
Одним из наиболее интересных явлений физики твердого тела является
ферромагнетизм. В некоторых металлах, например Fe и Ni, конечная часть
спинов атомов оказывается спонтанно ориентированной в некотором
направлении, что вызывает появление макроскопического магнитного поля.
Это состояние реализуется, однако, только при температурах, лежащих ниже
некоторой характеристической температуры, так называемой температуры
Кюри. Выше температуры Кюри спины системы ориентируются случайным
образом, так что результирующее макроскопическое поле равно нулю. При
приближении к температуре Кюри как с одной, так и с другой стороны
теплоемкость металла стремится к бесконечности. Таким образом, фазовый
переход из неферромагнитного состояния в ферромагнитное не может быть
классифицирован по Эренфесту.
Модель Изинга явилась грубой попыткой отразить структуру реального
физического ферромагнитного вещества]). Главное ее достоинство
заключается в том, что двумерная модель Изинга может быть точно
исследована методами статистической механики. Это единственный
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed