Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
фиг. 100. Система обладает двумя фазами, соответствующими областям z < z0
и z>z0. При z - zQ функция \jv(z) терпит разрыв. Можно показать, что эта
функция должна возрастать при переходе от z < z0 к z > z0. Сделаем это
следующим образом. Для любого конечного V
г-kш¦=' -h [-Vs<"• Ч=<(?)>-$>'>1"•
Отсюда следует, что если z2 лежит в /?2, а гг лежит в /?,. причем z-г >
zi< то v~l (z2) (zt). Таким образом, получаем переход
7ч
первого рода между двумя фазами. Это показано на Р - v-ят-грамме на фиг.
100, где горизонтальная часть кривой между точками vb и va соответствует
вертикальной части кривой 1 /v{z) между
350
Гл. 15. Фазовые переходы
точками а и Ь. Функция 1 /v(z) должна принимать все значения, лежашие
между точками а и Ь. Это следует из того, что функция 1 /v(z) является
предельной при V-> со, а при всех конечных значениях V кривая l/v(z)
непрерывна.
Если в том же самом примере производная dP(z)/dz была бы непрерывной при
2- z0, но вторая производная d2P(z)/dz2 в той же точке претерпевала
разрыв, то мы получили бы фазовый переход второго рода, как показано на
фиг. 101. Вообще фазовый переход я-го рода будет иметь место в том
случае, когда в точке z = za терпит разрыв производная dn + ]P (z)/dzn +
l, а все предшествующие производные непрерывны. В согласии с теоремами 1
и 2 находится и тот случай, когда некоторая производная Р (z) в точке z0
обращается в бесконечность, так что возникающий фазовый переход не может
быть классифицирован указанным выше способом, а оказывается сходным с Я,-
переходом в жидком Не4.
Таким образом, мы показали, что уравнение состояния (15.13) может
обнаруживать явление фазового перехода. Это значит, что существование
фазовых переходов не находится в противоречии с гамильтонианом (15.1) и
общим формализмом статистической механики. Кроме того, можно связать
наличие фазового перехода с тем обстоятельством, что при 1/-"со корень z
уравнения 6.(z, V) - Q приближается к действительной положительной оси.
Природа фазового перехода определяется аналитическими свойствами Р (z)
вблизи такого корня.
Хотя справедливость двух приведенных выше теорем была установлена вполне
строго, не было доказано, что предложенное описание фазовых переходов
является единственно возможным. Например, не была полностью исключена
возможность того, что корни большой статистической суммы приближаются к
положительной действительной оси не в одной точке, а вдоль целого отрезка
оси. Если бы такой случай осуигествился, мы по-прежнему имели бы фазовый
переход, но описание его стало бы значительно сложнее.
В принципе, конечно, можно доказать или, наоборот, опровергнуть
единственность нашего описания, поскольку статистическая сумма
рассматриваемой системы вполне определена. Необходимо лишь вычислить в
явном виде статистическую сумму, но, к сожалению, это находится за
пределами наших возможностей.
Ввиду того что наше описание обладает таким недостатком, интересно
проверить его справедливость на простых моделях. Интересной моделью
является двумерная модель Изинга, для которой статистическая сумма может
быть вычислена точно (см. гл. 17). Модель Изинга претерпевает фазовый
переход, который относится к одному из обсуждавшихся выше типов. Можно
показать (см. Ли и Янг [32]), что в этом случае корни большой
статистической суммы всегда лежат на единичной окружности в комплексной
плоскости z. Когда линей-
§ 3. Г азообразная фаза
351
ные размеры системы стремятся к бесконечности, корни сливаются в
некоторое непрерывное распределение, которое в одной точке достигает
положительной действительной оси. Фазовый переход полностью
характеризуется функцией распределения корней. Этот пример показывает,
что описание фазовых переходов, данное выше, является пригодным по
крайней мере в одной задаче.
Газообразной фазе системы, если она существует, соответствует область R,
содержащая начало z = О комплексной плоскости z. Из теоремы 2 следует,
что функция P{z) является аналитической вблизи z = 0 и может быть
представлена степенным рядом по z. В соответствии с этим уравнение
состояния газообразной фазы может быть записано в виде
где представляют собой конечные коэффициенты. Продолжая это выражение
аналитически, мы можем определить уравнение состояния во всей газовой
фазе.
Фиг. 102. Уравнение состояния, получающееся в том случае, если считать
вириальное разложение точным.
Как показано в гл. 14, при конечном объеме V уравнение состояния может
быть в общем случае сведено к форме (15.17), где заменяются групповыми
интегралами bf(V). Из равномерной сходимости, устанавливаемой теоремой 2,
следует, что в газообразной фазе
3. ГАЗООБРАЗНАЯ ФАЗА
(15.17)
Ptv)
В
lim -
(15.18)
Г л. 15. Фазовые переходы
Это показывает, что для систем, описываемых гамильтонианом (15.1), все
групповые интегралы при V -> со стремятся к конечным пределам, причем
справедливо вириальное разложение (14.30).
Уравнение (15.17) само по себе, однако, ничего не говорит о величине
