Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 104

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 154 >> Следующая

уравнения состояния. Предположим, например, что рассматриваемая система
претерпевает фазовый переход первого рода. При любом конечном значении
полного объема давление не может быть строго постоянным в области
перехода, так как Р есть аналитическая функция v. Тем не менее
производная dPjdv может быть чрезвычайно малой в некоторой области
измене-
346
Гл. 15. Фазовые переходы
ния V, например иметь величину порядка 10"23 атм/см3. В макроскопических
масштабах такое давление можно считать постоянным, но доказать это,
исходя из статистической суммы, можно, лишь проводя явное вычисление
функции P(v).
Чтобы обнаружить фазовый переход, не проводя явного вычисления
статистической суммы, необходимо исследовать поведение системы в
предельном случае V-> сю. В этом пределе уравнение состояния дается
формулами
Переход к пределу V-> сю должен пониматься в строгом математическом
смысле. В частности, операции lim и z(djdz) могут и
не быть переставимыми. Исследуя (15.13), можно надеяться найти те
сингулярности уравнения состояния, которые могут быть интерпретированы
как фазовые переходы.
Было показано, что уравнение состояния системы с классическим или
квантовым гамильтонианом (15.1) не обнаруживает никаких особенностей
поведения при любом конечном объеме системы. С математической точки
зрения это связано с отсутствием действительных положительных корней
уравнения S (г, К) = 0 при любом конечном значении V. Если рассматривать
6 (z, V) как функцию комплексной переменной z, то это означает, что нули
функции S (z, V) распределены в комплексной плоскости г, но никогда не
попадают на действительную положительную ось. При увеличении V число
нулей возрастает [ибо степень полинома (15.8) есть функция от V], а их
размещение на плоскости z изменяется. В пределе V-> со некоторые из
корней могут сместиться к положительной действительной оси.
Предположим, что в комплексной г-плоскости имеется область R, которая
содержит отрезок действительной положительной оси и которая свободна от
нулей функции 6(z, V) при всех значениях V. Разумно предположить, что при
V-> со свойства (15.10)-(15.12) сохраняют свою силу. Таким образом,
область R может соответствовать одной однородной фазе системы. Если
существует много неперекрывающихся областей R, то каждая область должна
соответствовать некоторой фазе системы. Чтобы исследовать возможные
фазовые переходы, мы должны исследовать поведение уравнения состояния
(15.13) в самом общем случае, когда z перемещается из одной области R в
другую.
рр=ДтЛ^,па(г'ю]'
(15.13)
§ 2. ТЕОРИЯ ЯНГА И ЛИ
S 2. Теория Янга и Ли
347
Эта идея лежит в основе теории Янга и Ли [31], которая содержится в
следующих двух теоремах.
Теорема 1. lim [V-1 In (3 (гг, К)] существует при всех z > 0.
Этот предел не зависит от формы объема V и является непрерывной
неуменьшающейся функцией z.
Принимается, что при V -> оо площадь поверхности, ограничивающей объем V,
растет не быстрее, чем Vn.
Теорема 2. Пусть R есть область в комплексной плоскости z, содержащая
отрезок положительной действительной оси и свободная от корней уравнения
й (г, И)=0 для любого значения V. Тогда для всех z из области R величина
V~ In й (z, V) равномерно сходится к некоторому пределу при V->со. Этот
предел есть аналитическая функция z для всех z из области R.
Эти теоремы доказаны в приложении В для случая классической
статистической механики. Здесь мы обсудим следствия, вытекающие из этих
теорем.
Пусть фаза системы определена как совокупность термодинамических
состояний, соответствующих значениям z, лежащим в некоторой отдельной
области R, определяемой теоремой 2. Пусть
F^(z) = lim In й (z, V). (15.14)
Тогда в некоторой отдельной фазе V_| 1п й (z, V) равномерно
сходится к F^(z) при 1/->со. Это означает, что в уравнении
со-
стояний (15.13) порядок операций lim и z(d/dz) может быть переставлен.
Следовательно, в каждой отдельной фазе уравнение состояния есть
VP(z) = Faa(z),
1 dF^ (г) (15.15)
v(z)~Z дг ¦
-(15.12) остаются в силе в пределе,
-?<0. (15.16)
Некоторые возможные случа) гласующиеся с теоремами 1 1 мерами.
Предположим, что область R включает всю положительную действительную ось,
как показано на фиг. 97. Тогда система всегда находится в одной фазе.
Уравнение состояния можно получить, графически исключая z из (15.15), как
показано на фиг. 98.
Гл. 15. Фазовые переходы
Предположим теперь, что нуль функции б (z, V) при V -->¦ со приближается
к точке z0 на действительной оси. В этом случае,
•7i?
у Нули Функции ф (z, V)
У-'.-- Г*
Фиг. 97. Область /?, не содержащая нулей функции б (г, V).
~Нули функции ф (z, V)
Фиг. 99. Две области /?, и не содержащие нулей функции б (г, 10.
представленном на фиг. 99, возникают две области Rt и R2, для каждой из
которых справедлива теорема 2. При z = zQ функция P(z) должна быть
непрерывной, что следует из теоремы 1. Ее производ*
§ 2. Теория Янга и Ли
349
ная, однако, может претерпевать разрыв. Пример такого поведения дан на
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed