Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 103

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 154 >> Следующая

ли различие этих величин?
14.3. Для газа Бозе и газа Ферми, состоящих из бесспиновых частиц,
взаимодействующих как твердые сферы, вычислить вторые вириальные
коэффициенты с точностью до двух первых неисчезающих степеней параметра
ajX, где а - диаметр твердой сферы, а Л - тепловая длина волны.
14.4. Волновая функция системы свободных различимых частиц записывается в
виде
g, (*) Л* , 2/ + 1 - 1,
(14.78)
g?' (*) Л*(0) 2/ + 1
(14.79)
Поэтому
2/+1 (*)
(14.80)
Задачи
Ответ.
(Бозе),
(г)3+18л2(х)6+-' <феРми>'
') Анализ дан в работе Пайса и Уленбека [30].
342
Г л. 14. Г рупповые разложения
Пусть
О, .... N\e~W 11', Л0= 2 21 0^'..ЛОе-^врО', N') .
Р1 PN
Символ ] 1, N) можно рассматривать как собственный вектор операторов
положения N различимых частиц. Показать, что с помощью этой величины
соотношение (14.35) может быть представлено в форме
-L-WN(l, .... W) = ^6p(l........Н\е~№\Р1, PN).
14.5. Рассмотреть систему частиц, подчиняющихся статистике Больцмана.
Показать, что статистическая сумма может быть записана в виде
^°льц=777wfli"rWEMbU(1 ^
где
_1_ ц^гБольц. ^ N) = {\......11, N).
Глава 15 ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Фазовые переходы представляют собой довольно распространенное явление. Из
опыта мы знаем, что фазовый переход проявляется как некоторая
сингулярность, или скачок в уравнении состояния. В этой главе будет
показано, что в общем формализме статистической механики явление фазового
перехода может быть получено как возможное следствие молекулярных
взаимодействий.
Чтобы уточнить постановку задачи, рассмотрим конкретный случай
классической системы из N молекул, содержащихся в объеме V, с
гамильтонианом
H = K + Q( 1........N), (15.1)
Q(1 N) = 2ivi}, (15.2)
причем vtj - v (| г,- - г у |). Пусть потенциал взаимодействия молекул
v(r) обладает следующими общими свойствами: v(r) = oo (г<я).
0>г"(г)> - е (я < г < г0), (15.3)
v(r) = О (г > г0).
Таким образом, каждую молекулу можно рассматривать как твердую сферу
диаметром а, окруженною притягивающим потенциалом с радиусом действия г0
и максимальной глубиной е. В хорошем приближении v{r) представляет
истинный потенциал взаимодействия молекул в реальном веществе.
Качественный ход потенциала v (г) изображен па фиг. 96. В этой главе мы
будем рассматривать только такие системы. Классическая статистическая
сумма системы имеет вид
Qn(V) = W^ f d3Nre-mil'-'N\ (15.4)
где ). = Y2zih2!mkT -тепловая длина волны. Температуру мы считаем
фиксированной и в дальнейшем будем выписывать явно лишь
344
Г л. 15. Фазовые переходы
в тех случаях, когда это окажется необходимым. Большая статистическая
сумма выражается формулой
6 (г, V)^^z"Qn(V). (15.5)
Уравнение состояния можно получить, исключая z из двух параметрических
уравнений
p/>=-Iln@(*, 10.
1 1 д (15'6)
где v - удельный объем, т. е. параметр, не зависящий от полного объема V.
Рассмотрим чисто математический вопрос о наиболее
96. Потенциал взаимодействия частиц, рассматриваемый в настоящей
общем поведении Р как функции v при заданном фиксированном значении
полного объема V.
При данном объеме V существует некоторое максимальное число молекул
Nm(V), которые могут быть помещены в объем V. Если N > Nm(V), то по
крайней мере две молекулы будут "касаться* друг друга и
0*00 = ° [N>Nm(v)\. (15.7)
Таким образом, большая статистическая сумма представляет собой полином по
z степени Nm (К):
fl(*. V)=1 + *?100 + *2Q200+...(Ю. (15.8)
§ I. Постановка задачи
345
Уравнение состояния принимает параметрическую форму
рР = I- In [1 + zQl (V)+z2Q2 (V)+...+ zn(tm)QNm (V)], j ,
zQl(V)+2z*Qi(V) + ... +NmzNmQNJV) (15.9)
v ~ V 1 +zQ,(V) + z*Q2(V) + ...+zNmQNm(V) '
Ясно, что P и v являются аналитическими функциями z в области
комплексной 2-плоскости, включающей действительную положительную ось.
Следовательно, Р есть аналитическая функция v в области комплексной г)-
плоскости, включающей действительную положительную ось. Справедливы
следующие утверждения:
а) Р>0. (15.10)
Доказательство. Это очевидно, так как 0 для лю-
бого N.
б) ^<г'<00- f15-11)
Доказательство. Это неравенство следует из определения Nm.
в) 0. (15.12)
Доказательство.
дР дР dz 1 dz 1 1
до ~ дг до ~ ог до ~ ог (до/дг) ~ Vo' < [//- (N) ]*) ^ U'
Все сказанное остается справедливым и для квантовомеханической системы,
так как условие (15.7) сохраняет свою силу. Действительно, в
квантовомеханическом случае гамильтониан по-прежнему выражается формулой
(15.1) с той лишь разницей, что вместо мы должны подставить оператор
импульса I-й частицы. Поскольку в Q входит потенциал твердых сфер, любая
собственная функция Н должна обращаться в нуль при "соприкосновении" двух
частиц. При вычислении Qn можно использовать формулы (14.35) и (14.36), а
в качестве полной системы волновых функций выбрать собственные функции
гамильтониана Н. При этом справедливость соотношения (15.7) очевидна.
При любом конечном значении полного объема V наличие фазового перехода
можно обнаружить только в том случае, когда проведено явное вычисление
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed