Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
ЯЧ'оО, 2) = Еа'?а(\, 2). (14.54)
R - "2" С1* 1 ~Ь- г2)
Г=Г2- гь
Ч'а(1, 2) = -7Jre'-p-4"(r).
(14.55)
= г2 - гь
р2 (14.56)
Еа = -^ + гп,
причем символ а соответствует совокупности квантовых чисел (Р, я).
Волновая функция относительного движения ф"(г) удовлетворяет
уравнению на собственные значения
[-V2-j-ir (г)] ф" (г) = епф" (г) (14.57)
с условием нормировки
J d3r | фп (г) |2 = 1 • (Н.58)
') Существуют формальные методы вычисления Ьр Ссылки на литера-туру по
данному вопросу см. в книге [28].
2) Последующее исследование взято из работы [29].
338
Гл. 14. Групповые разложения
Используя для вычисления W2(l, 2) волновые функции (14.56), находим из
(14.35)
Г2( 1, 2) = 2Яб^|?а(1, 2)|VP?" =
= е~*РЩте~К- (14.59)
Р П
В пределе V->-оо сумма по Р может быть вычислена непосредственно: ^ ^
= ?j rfp/J2e_pp,/4m = 2^2_ _ (Н 60)
Р О
где X~Y2nh2lmkT -тепловая длина волны. Следовательно,
W2( 1, 2) = 4 у1> ^ 2 | фл (г) | VPV (14.61)
Если повторить все предшествующие вычисления для системы
двух невзаимодействующих частиц, то получим
Г<0)( 1, 2)=4 У2Х32|ф'0)(г)|2е'РЕл>, (14.62)
где индексом (0) отмечены величины, относящиеся к системе не-
взаимодействующих частиц. Из (14.49) и (14.47) имеем
/*==w/ 2> = W J rf3/Wr2(l. 2)-11.
Поэтому
6 - ^0)=2Хп7 JV/WV[r2(l, 2)-Wf>(l, 2)] =
= 2 /2 f d*r ^ [ | Ф" (r) Is e-^r, _ | ф(°> (r) |2 =
= 2 /2 2(е-Рел - e"PE',0)). (14.63)
где
mx i 2"5/г (идеальный бозе-газ),
/?> = { (14.64)
[ -2 2 (идеальный ферми-газ).
Для дальнейшего анализа выражения (14.63) надо изучить энергетические
спектры е(r) и ея, В системе невзаимодействующих частии
спектр е^0* образует континуум. Имеем
еЮ) = - (14.65)
чгц ' {
§ 3. Второй вириальный коэффициент
эта формула определяет волновое число относительного движения k. Для
взаимодействующих частиц спектр еп в общем случае состоит из дискретных
значений ев, соответствующих связанным состояниям двух тел, и континуума.
В области континуума определим волновое число k для взаимодействующих
частиц, положив
е" = -^-. (14.66)
Пусть g{k)dk есть число состояний, волновые числа которых лежат между k и
k-\-dk, a gl0>(k)dk есть соответствующая величина для системы
невзаимодействующих частиц. Тогда (14.63) можно записать в форме
= 2 /2 fdk[g(k)-gi 0) (k)]e
(14.67)
причем гв обозначает энергию связанного состояния в системе двух
взаимодействующих частиц.
Пусть, далее, г), (k) есть сдвиг фазы при рассеянии на потенциале v.(r)
для /-Й парциальной волны с волновым числом k. Будет показано, что
g (k) - g&> (k) = I 2' (2/ + 1) ^jP-. (14.68)
где сумма 2' распространяется на значения
( 0, 2, 4, 6, . . . (бозоны),
^ 1 1, 3, 5, 7, ... (фермионы). (14.69)
Таким образом,
й-гг_2(л52г".-н^/<"2>+
(14.70)
*, - ^ = 2 V^Yie ВЕд+ 2ТАд2-^'(2/+
(14.71)
Вычисление второго вириального коэффициента любой системы сводится, таким
образом, к квадратурам.
Остается доказать соотношение (14.68). Можно выбрать в качестве (г) и
ф№(г) чисто сферические функции, так как v (г) не зависит
22*
340
Г л. 14. Групповые разложения
ка^ой-либо выделенной оси.
Wr)=='Wr(0> ч)-1'
"Го/Гч (14-72)
С" (f)=KinY7 (0- ч>) --- •
Для бозонов ф(г) = ф(-г), для фермионов ф(г)=-ф(-г). Поэтому
( 0, 2, 4, 6, ... (бозоны),
^ | 1, 3, 5, 7, ... (фермионы). (14.73)
Примем следующие граничные условия:
ukl(R)=uW(R) = 0, (14.74)
где R - очень большой радиус, величину которого в конце вычислений
мы устремим к бесконечности. Асимптотические выражения
для
и и uj,0/ имеют вид
ukl(r)-"sln[kr+%- + 4 (А)] u(")(r)-*sin[Ar+-f]
Эти формулы определяют фазы т|, (/г). Собственные значения k находятся из
граничных условий (14.74):
kR -)- Щ- -)- Т1; (А) = пп (взаимодействующие частицы),
/л <14-76>
kR -)- -у = пп (невзаимодействующие частицы),
где п = 0, 1, 2, ... Мы видим, что собственные значения А зависят от п и
I, но не зависят от т. Поскольку для данного I имеется всего 2/ -1
сферических функций К(tm), каждое собственное значение А вырождено (21 -)-
1)-кратно.
При заданном I изменение п на единицу вызывает изменение А на ДА или
ДА(0), причем соответственно
ДА = -=
-" + [*,, <*)/**!' (И 77)
ДА(0> = ~ .
Мы получили интервалы между собственными значениями при заданном I.
Обозначим через gt(k)dk и gf\k)dk число состояний с за-
341
данным I и с волновым числом, лежащим между k и k-\-dk, для двух
рассматриваемых случаев. Должно выполняться условие
Суммируя равенство (14.80) по всем / с учетом (14.73), приходим к
(14.68).
При / > 2 не существует формулы для сравнимой по простоте с (14.71), так
как не существует способа рассмотрения проблемы I тел при / > 2, сходного
с анализом сдвига фаз при рассеянии, применяемого в проблеме двух тел ')¦
14.1. а. Вычислить 42 и 43 для классического газа из твердых сфер, если
диаметр сфер равен а.
б. Выразить уравнение состояния классического газа из твердых сфер в
форме вириального разложения. Вычислить члены вплоть до третьего
вириального коэффициента.
14.2. Найти Ьг для идеального бозе-газа и сравнить его с (2¦ Существенно
