Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
количественного критерия справедливости соотношения (14.40). Она
нетривиальна, так как vl2 не коммутирует с V2 v|.
Продолжая вывод Кана и Уленбека, рассмотрим сначала случай /V = 2. В
соответствии с (14.38) можно ожидать, что при
' * 2' W2(1, 2)-> W1(\)W2(2).
Если определить функцию (72 (1, 2) при помощи соотношения
W2(l, 2) = VI7! (1) W2 (2) -|- (У2 (1, 2),
то следует ожидать, что при |гх - г2|->оо
(/2( 1, 2) ->0.
Следовательно, интеграл от U2 (1, 2) по г, и г2 должен быть аналогом 2-
группы в классической статистической механике.
Будем действовать следующим образом. Определим последовательность
групповых функций (7,(1, ..., I) системой уравнений таких, что 1-е
уравнение является определением (7, (1, .... I):
1*4(1)= (4(1)= 1, (14.41)
1*4(1, 2)=(/j(1)(/j(2)4 (/2( 1, 2), (14,42)
1*4(1, 2, 3)=(/1(1)(/,(2)(/1(3)--(- (/,(1)(/.2(2, 3) 4-
-4 (7, (2) U2 (3, 1)4 (7,(3) (/.,(1, 2)4- (4(1, 2,3), (14.43)
§ 2. Квантовое групповое разложение
335
Последнее уравнение системы, определяющее UN{\ N), имеет
вид
WN{\ N) =
= Д 2КЛ( )•¦• Ud )iiu3( ¦ ) ••• ил ¦ Л• • • IUN{ )],
(14.44)
где m, есть нуль или положительное целое число, а набор целых чисел (тг)
удовлетворяет условию
= N. (14.45)
Сумма по (тг) в (14.44) распространяется по всем наборам (тг),
удовлетворяющим условию (14.45). Аргументы функций Ul в (14.44) не
указаны. Имеется ровно N таких пустых мест, которые должны
быть заполнены N координатами Г[ Гд, в любом порядке.
В (14.44) 2 есть сумма по всем различным способам заполнения этих пустых
мест.
Решая уравнения (14.41) - (14.44) последовательно для Uv U2 и т. д.,
получаем
ПГ1(1) = Г1(1)= 1, (14.46)
?Л,(1, 2) = W2 (1, 2) - 1^(1) 11^(2). (14.47)
СУ з (1, 2, 3)=ГЭ(1, 2, 3) -Г2(1, 2) U7, (3) - W2 (2, З^О) -
- Г2(3, 1)1И1(2) + 2Ц71(1)Г1(2)Г1(3), (14.48)
Мы видим, что 77г (1 I) есть симметричная функция своих аргументов и
определяется всеми функциями WN-, где N' -4^,1. В силу
(14.38) можно ожидать, что Ul -> 0 при | г;-г;-|-со, где гг и г;- -
любые два аргумента функции 77;.
Групповой интеграл bt(V, Т) определяется формулой
bt (V, Т)= J=aF / d3r1 • • ¦ rfVA( 1. • • •• О- (14.49)
Очевидно, что bt есть величина безразмерная. Если при увеличении разности
любых двух аргументов функция Ut достаточно быстро стремится к нулю, то
интеграл (14.49) пропорционален V при Г->оо, Поэтому можно ожидать, что
предел 7г(со, Т) существует. Верно ли это, зависит, конечно, от свойств
потенциала взаимодействия. Примем, что это так.
Покажем теперь, что статистическая сумма выражается непосредственно через
групповые интегралы. Согласно (14.36), необходимо
Гл. 14. Г рупповые разложения
проинтегрировать WN по всем координатам. Воспользуемся формулой (14.44).
Интегрирование по всем координатам даст один и тот же результат для
каждого члена в сумме 2- Таким образом, резуль-р
тат интегрирования выражается в виде произведения интеграла от любого
члена суммы 2 на число членов в этой сумме. Число членов
суммы 2 дается выражением (14.22). Поэтому
р
| d(tm)rW( 1 N) =
= (tm)-------------------- Г d3Nr[(U, ...Ul){U2... U2). . .] =
ZJ[(1!)-' (2!)-=...] (OTl! m2! ...) J 1 2 v
= ^!2тЫтГ jdh,db2U2{\, 2)j"\ . . =
-"'S s П<l4'50)
{";) '-1 {";) (=1
Следовательно, статистическая сумма есть
""<И. 0 = 2 П-5Г (?">)"'• <14-5')
{(tm);) ;=i
Она имеет в точности тот же вид, что и классическая
статистическая сумма (14.25). Обсуждение, проводившееся в связи
с формулой
(14.25), можно полностью повторить и в этом случае, однако мы этого
делать не будем. Укажем только главные различия между квантовыми и
классическими групповыми интегралами.
Для идеального газа в предшествующих главах были получены выражения
,п, ( Гh (идеальный бозе-газ),
40,= ,+1 .. (14.52)
( (-1) I /J (идеальный ферми-газ).
Таким образом, в случае газов Бозе и Ферми величина 1г не обра-
щается в нуль при I > 1 даже в отсутствие междучастичных взаимодействий
(в отличие от классического идеального газа).
Вычисление 1Х в классическом случае сводится лишь к вычислению ряда
интегралов. В квантовом случае, однако, для вычисления ?t необходимо
знать функцию Ut, для чего в свою очередь нужно знать WN' при N'
Следовательно, для того, чтобы найти bt для
§ 3. Второй вириальный коэффициент
/ > 1, необходимо решить проблему I тел. Рецепт для такого вычи. сления
существует лишь для случая 1 = 2, который будет рассмо трен в следующем
параграфе1).
§ 3. ВТОРОЙ ВИРИАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ
Чтобы найти второй вириальный коэффициент а2 для любой системы,
достаточно вычислить 1Ъ так как а2 = -ф,. Общая формула для 12 (по
существу, для всех bt) для классического случая уже была приведена выше.
Здесь мы рассмотрим только квантовый случай 2).
Чтобы найти 12, надо знать функцию И72(1, 2)- которая характеризует
систему из двух тел. Пусть гамильтониан рассматриваемой системы двух тел
выражается формулой
" = -sir(v? + v*) + *'(lr.-r2|) <14'53>
и пусть ^"(l, 2) представляют собой его нормированные собственные
функции, а Еа-соответствующие собственные значения
