Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
словами, четыре компоненты Sa - мировые скаляры. Поэтому в силу
соотношения (7.24), уравнение для них выглядит так:
ЛЯа d4a
- =-= S"e%vu" = rfblbca udSc. (7.25)
Здесь 7аьс = eaiJ,-ve^evc - т. н. коэффициенты вращения Риччи. Взяв
ковариантную производную от тождества eafl е^ = г)аь, легко показать, что
они антисимметричны по первой паре индексов:
Табс - Т бас*
(7.26)
7.5. Уравнения движения спина в гравитационном поле75
Разумеется, уравнение для тетрадных компонент 4-скорости выглядит точно
так же, как для спина:
^ = rfblbcauduc. (7.27)
ат
Смысл уравнений (7.25), (7.27) ясен: тетрадные компоненты обоих векторов
меняются одинаково, лишь за счет вращения локального лоренце-ва репера.
Точно так же, в силу уравнения (7.22) при g = 2 и уравнения (7.21),
четырехмерный спин и четырехмерная скорость заряженной частицы с
гиромагнитным отношением g = 2 прецессируют с одинаковой угловой
скоростью во внешнем электромагнитном поле:
^ - JL ТГ Qb dua е " ,.Ь
j, - ? j, - -ГаЬ^ •
at m at m
Иными словами, имеет место очевидное соответствие:
- Fab < > JabcUC. (7.28)
m
Оно позволяет получить частоту прецессии и> трехмерного вектора спина s
во внешнем гравитационном поле из выражения (7.23) с помощью простой
замены:
el е
- В, -> - - eikijkicU0', -Е, -> 7оicuc. (7.29)
m2 m
Таким образом, эта частота равна {А.А. Померанский, И.Б. Хриплович, 1998)
1 ик \ ис
21к1с + й°
- eiki ( -7kic + .Qii Toic) туг ¦ (7.30)
Общий множитель 1 /и^ в выражении (7.30) связан с переходом в левой части
уравнения (7.25) к дифференцированию по мировому времени t:
d dt d 0 d
dr dr dt Uy' dt'
Величина u°w снабжена индексом w с тем, чтобы подчеркнуть, что это
мировая, а не тетрадная компонента 4-скорости. Все остальные индексы в
выражении (7.30) тетрадные, с = 0,1,2,3; i,k,l = 1, 2,3.
76Глава 7. Взаимодействие спина с гравитационным полем
Однако в некотором отношении взаимодействие с гравитационным полем
первого порядка по спину существенно отличается от соответствующего
взаимодействия с электромагнитным полем. В случае электромагнитного поля
взаимодействие, вообще говоря, зависит от свободного феноменологического
параметра - g'-фактора. Более того, если допустить нарушение
инвариантности относительно отражения координат и обращения времени, в
электромагнитном случае появляется еще один свободный параметр -
электрический дипольный момент частицы. Дело в том, что и магнитный, и
электрический дипольные моменты взаимодействуют с напряженностью
электромагнитного поля, так что это взаимодействие калибровочно-
инвариантно при любых значениях этих моментов. Только независящее от
спина взаимодействие с электромагнитным вектор-потенциалом фиксировано
сохранением заряда и калибровочной инвариантностью. Напротив,
коэффициенты вращения Риччи 7".be, входящие в выражение (7.30) для
частоты прецессии в гравитационном поле, в отличие от тензора Римана,
нековариант-ны. Обсуждаемое взаимодействие спина с гравитационным полем
однозначно фиксировано законом сохранения углового момента в плоском
пространстве-времени в сочетании с принципом эквивалентности, оно не
содержит свободных параметров (Л.Д. Ландау). С другой стороны, нет ничего
удивительного в том, что и> зависит не от тензора Римана, а от
коэффициентов вращения. Эта частота и не должна обладать свойствами
тензора: достаточно вспомнить, что спин, который покоится в инерциальной
системе отсчета, прецессирует во вращающейся.
Нетрудно убедиться в том, что в приближении слабого поля, где
нет различия между тетрадными и мировыми индексами в eafl, тетрада
выглядит так:
&IJ,V - VllV "Ь ^ 1.
Связь тетрады eafl с метрикой в приближении слабого поля сводится к
7.5. Уравнения движения спина в гравитационном поле77
Если потребовать, чтобы тетрады выражались только через метрику, то мы
приходим к т. н. симметричной калибровке для тетрад, где
ё - - h
Тогда в приближении слабого поля коэффициенты Риччи таковы:
'Yabc - 2 (hbc.a hac,b).
Теперь, используя соотношения (7.30), (7.31), можно, например,
элементарно решить задачи о спин-орбитальном и спин-спиновом
взаимодействий при произвольной скорости частицы. Случай, когда скорость
частицы велика, а гравитационное поле слабое, соответствует, очевидно,
задаче рассеяния. Еще один возможный случай - это частица со спином,
связанная другими силами, например, электромагнитными; здесь мы ищем
поправки к частоте прецессии, которые обусловлены гравитационным
взаимодействием. Итак, рассмотрим эти задачи.
Начнем со спин-орбитального взаимодействия. В центрально-симметричном
поле, которое создается массой М, метрика имеет вид:
и - те - 2fcM_ u _ rg х _ 2кМ х (п ооХ
П-ОО - - ? hmn - *тп - (* .32)
ГГ гг
Отличные от нуля коэффициенты Риччи здесь таковы:
- кМ (X х \ кМ
'Jijk - ^3 {Pjk^i Vikfj) ? ТОгО - ^3 Т*i * (7-OOj
Их подстановка в формулу (7.30) дает следующее выражение для час-
тоты прецессии:
27+I кМ 27+I кМ
Uls =----------------------3- г х V = -- з 1. 7.34)
