Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хриплович И.Б. -> "Общая теория относительности " -> 21

Общая теория относительности - Хриплович И.Б.

Хриплович И.Б. Общая теория относительности — И.: НИЦ, 2001. — 120 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 36 >> Следующая

dl , , 2к
J, = HW}= ^[*>*1],
т. е. орбитальный момент частицы, а с ним и плоскость ее орбиты, пре-
цессируют с угловой скоростью
2 к
Wi - -5-S' So-czr
Усредненная по периоду обращения угловая скорость составляет
2 к
с2а3(1 - е2)3/2 S°" (7Л5)
Аналогично вычисляется производная по времени вектора Рун-ге - Ленца
(7.13). Его усредненная угловая скорость равна
2 к
(w2> =
с2а3(1 - е2)3/2
g о 1(1 So) 80 -3~^
(7.16)
Очевидно, можно сказать, что плоскость орбиты, вместе с 1, также
прецессирует с усредненной угловой скоростью (w2). Иными словами, (и>2)
является угловой скоростью пространственной прецессии эллипса орбиты как
целого.
Задачи
7.3.1. Доказать формулы (7.15), (7.16).
7.3.2. Как выглядит гравитационное спин-орбитальное и спин-спиновое
взаимодействие в задаче двух тел с разными массами mi, m2 и спинами Si,
S2?
72Глава 7. Взаимодействие спина с гравитационным полем
7.4. Уравнения движения спина в электромагнитном поле
В следующем разделе общая задача о прецессии спина во внешнем
гравитационном поле будет сведена к аналогичной задаче для случая
внешнего электромагнитного поля. Сами по себе уравнения движения спина
релятивистской частицы в электромагнитном поле не имеют непосредственного
отношения к ОТО и к тому же хорошо известны (см. В.Б. Берестецкий, Е.М.
Лифшиц, Л.П. Питаевский, Квантовая электродинамика, §41). Однако, по
крайней мере для связности изложения, вкратце рассмотрим в этом разделе
именно задачу, относящуюся к электромагнитному полю.
Начнем с прецессии спина заряженной частицы в ее собственной системе.
Уравнение, описывающее эту прецессию, хорошо известно:
здесь В - внешнее магнитное поле, ей т - заряд и масса частицы, g- ее
гиромагнитное отношение (для электрона g яз 2). Иными словами, спин
прецессирует вокруг направления магнитного поля с частотой - (eg/2m)'B. В
том же нерелятивистском пределе скорость прецессирует вокруг направления
В с частотой -(е/т)В:
Таким образом, при g = 2 спин и скорость прецессируют с одинаковой
частотой, угол между ними сохраняется.
Перейдем теперь к релятивистскому обобщению уравнения (7.17). Для этого
удобно использовать четырехмерный вектор спина Sуже упоминавшийся в
разделе 7.2. Обсудим подробнее его определение. Как уже говорилось, в
системе покоя частицы Sд не имеет временной компоненты и сводится к
обычному трехмерному вектору спина s, т. е. в этой системе Sм = (0,s). А
в системе отсчета, в которой частица движется со скоростью v, вектор Sм
строится из (0,s) с помощью преобразования Лоренца, так что здесь
(7.17)
е
[v х В].
V =
т
(7.18)
Таким образом, просто по определению четырехмерного вектора спина,
7.4. Уравнения движения спина в электромагнитном поле73
имеют место тождества:
SfiSf, = -s2 (= const), б'дИд = О
(7.19)
(как обычно, Пц - четырехмерная скорость).
Правая часть уравнения для dS^/ds должна быть, очевидно, линейной и
однородной по напряженности электромагнитного поля Fи по самому 4-вектору
5М, а также может зависеть от ид. В силу первого тождества (7.19), правая
часть должна быть четырехмерно ортогональной самому S^. Поэтому общий вид
искомого уравнения таков:
Сравнивая нерелятивистский предел этого уравнения с (7.17), находим a =
eg/2m. Учтем далее, что, в силу второго тождества (7.19),
{Я.И. Френкель, 1926; В. Баргман, Л. Мишель, В. Телегди, 1959).
Перейдем теперь в уравнении (7.22) от 4-вектора Sм к трехмерному вектору
s, непосредственно характеризующему внутренний момент количества движения
частицы в ее "мгновенной" системе покоя. При этом, наряду с соотношениями
(7.18), нужно использовать уравнения движения заряда в поле. После
довольно длинных вычислений находим:
= aFy,vSv + fiu^FvxUvSx-
(7.20)
dSM _ duд
Ни ¦. - &U.
и вспомним классическое уравнение движения заряда в поле:
(7.21)
Теперь, умножая уравнение (7.20) на получаем:
Итак, релятивистское уравнение движения спина таково:
(7.22)
ds
dt
2m
е
(7.23)
74Глава 7. Взаимодействие спина с гравитационным полем
Задачи
7.4.1. Вывести уравнение (7.23) из (7.22).
7.4.2. Получить из уравнения (7.23) гамильтониан спин-орбитального
взаимодействия в атоме водорода.
7.5. Уравнения движения спина в гравитационном поле
Из сохранения момента импульса в плоском пространстве-времени в сочетании
с принципом эквивалентности следует, что 4-вектор спина S11 параллельно
переносится вдоль мировой линии частицы. Параллельный перенос вектора
вдоль геодезической жм(т) означает равенство нулю его ковариантной
призводной:
^=0. (7.24)
Понятие спина непосредственно связано с группой вращений. Поэтому его
естественно описывать в локальной лоренцевой системе координат, используя
тетрадный формализм (см. раздел 3.1). Тетрадные компоненты спина
Sa = S"el
Н'
(первыми буквами латинского алфавита, а, Ь, с, d, мы обозначаем здесь и
ниже четырехмерные тетрадные индексы) ведут себя как векторы при
преобразованиях Лоренца локально-инерциальной системы. Однако они не
меняются при общековариантных преобразованиях х11 = /м(ж'). Иными
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 36 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed