Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(7.6)
68Глава 7. Взаимодействие спина с гравитационным полем
Прямой расчет немногим сложнее. В стационарном случае уравнение для hon
таково (см. (4.4)):
Д h0n = 167Г кТ0п. (7.7)
Приняв, что внутреннее движение в источнике нерелятивистское, правую
часть этого уравнения можно переписать в виде 16irkpvn = = - 16тткргп,
где р - плотность массы источника, a vn - компоненты обычного,
контравариантного, локального вектора скорости v. Теперь ясно, что
уравнение (7.7) для вектора g совпадает с точностью до обозначений со
стационарным уравнением для вектор-потенциала А в электродинамике.
Используя известное решение этого, последнего уравнения (см. Л.Д. Ландау,
Е.М. Лифшиц, Теория поля, §44), без труда находим:
g = (7-8)
Рассмотрим теперь движение вектора спина s пробной частицы в
гравитационном поле, создаваемом спином источника So- Начнем с ко-
вариантного уравнения движения спина. В свободном случае оно, очевидно,
выглядит так:
?="
(в этой главе собственное время обозначается через т). Ковариантный
вектор спина частицы S11 определен следующим образом. В системе покоя
этой частицы он имеет лишь пространственные компоненты, т. е. в этой
системе Sм = (0, s), а в любой другой системе его компоненты находят с
помощью преобразования Лоренца из системы покоя. В гравитационном поле
уравнение (7.9) переходит в
DS1* (IS1*
+ Г ZTSV = 0. (7.10)
Считая пробную частицу нерелятивистской, получаем отсюда:
г
-jf = -Г>" = rm,"os" = ^ (Vnh0m ~ Vmh0")sn,
ИЛИ
ds С - i
S= 2Sx|Vxg1'
7.2. Спин-спиновое взаимодействие69
Таким образом, спин s прецессирует в таком гравитационном поле с угловой
скоростью (Л. Шифф, 1960)
С г_ , 3r(rs0)-r2s0 . .
" = - 2 IV х g] = к ^5------------• (7-И)
Соответствующий гамильтониан спин-спинового взаимодействия выглядит так:
/¦ ..л , 3(rs0)(rs) - r2(s0s)
У88 = (ws) = к---------^-----------. (7.12)
Заметим, что спин прецессирует так, как если бы мы рассматривали его в
системе координат, вращающейся с угловой скоростью -и> по отношению к
инерциальной системе, в которой спин покоится. В этом смысле можно
говорить об "увлечении" инерциальной системы с угловой скоростью -и> за
счет собственного момента источника гравитационного поля.
Задачи
7.2.1. Доказать соотношение hon = h0n.
7.2.2. Тонкая сферическая оболочка радиуса R вращается с угловой
скоростью 12. Ее полная масса распределена равномерно. Найти метрику вне
и внутри оболочки, считая малым ее отклонение от плоской. Найти угловую
скорость и> увлечения инерциальных систем внутри оболочки.
7.2.3. Найти вклад в отклонение луча света, обусловленный вращением
гравитирующего центра. Предположить, что плоскость движения луча
ортогональна оси вращения центра.
7.2.4. Спутник с гироскопом находится на околоземной орбите. Оценить
частоту прецессии гироскопа 1) за счет спин-орбитального взаимодействия,
2) за счет спин-спинового взаимодействия с собственным моментом вращения
Земли So- Как следует ориентировать ось гироскопа относительно плоскости
орбиты спутника и саму плоскость орбиты относительно So, чтобы
максимально усилить относительный вклад второго эффекта по сравнению с
первым?
70Глава 7. Взаимодействие спина с гравитационным полем
7.2.5. Лучи света, выходящие из источника в вершине А, движутся по
путям ABC и ADC и интерферируют на экране в точке С (см. рис. 7.1). В
центре квадрата ABCD вращается тело с осью вращения, ортогональной
плоскости квадрата. Оценить численно сдвиг интерференционной картины при
изменении направления вращения, если тело - это Земля, а сторона квадрата
равна ее диаметру.
[angle=270,totalheight=5cm]fig71.eps Рис. 7.1
7.3. Прецессия орбиты, обусловленная вращением центрального тела
Вращение центрального тела приводит к прецессии не только спина частицы,
но и ее орбиты. Прецессирует теперь не только перигелий, т. е. вектор
Рунге - Ленца
. 1 г kmMr
А = - р х 1 , 7.13
т г
как это было, благодаря нелинейной поправке, в центральном поле. В этом
случае, при нецентральной поправке к полю, не сохраняется также
орбитальный момент частицы 1. Он прецессирует, а с ним и сама плоскость
орбиты, нормаль к которой направлена вдоль 1 (Я. Пензе, Г. Тирринг,
1918).
Поправка к функции Лагранжа частицы L = -mds/dt за счет отличного от нуля
вектора g составляет
SL = -mc(gv) = - ([г х v] s0).
Соответствующая поправка к гамильтониану частицы равна
2k
Vi,i= -д-7 (sol). (7.14)
7.3. Прецессия орбиты, обусловленная вращением центрального тела 71
Обратим внимание на аналогию между гравитационными эффектами,
обсуждающимися в этой главе, и эффектами, известными из атомной физике.
По отношению к спин-орбитальному взаимодействию (7.3) это соответствие
уже упоминалось. Теперь, если спин-спиновое взаимодействие (7.12) - это
очевидный аналог сверхтонкого спин-спинового взаимодействия в атоме
(разумеется, не в s-волне), то (7.14) соответствует сверхтонкому
взаимодействию орбитального момента электрона со спином ядра.
Уравнение движения для орбитального момента частицы выглядит так:
