Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
точную границу перехода к глобальной стохастичности. Этот метод
постулирует соответствие между двумя следующими свойствами системы (рис.
4.7): 1) разрушение инвариантной кривой с иррациональным числом вращения
а и 2) потеря^устойчивости периодических точек, число вращения которых
r/s -у а при s -*¦ оо (г, s - взаимно простые числа).
Средний вычет. Для линеаризованного отображения, заданного матрицей А
вблизи периодической точки (см. п. 3.36), вычет определяется как
(4.3.33)
Приравнивая правые части (4.3.31) и (4.3.33), находим
(4.3.34)
* 12л 2л
R = ~~ (2 Sp А).
(4.4.1)
Сравнение с (3.3.54) показывает, что для 0 sg R sc 1
R-s№(f),
(4.4.2)
270
Глава 4
где о - сдвиг фазы на одну итерацию отображения. Поэтому периодическая
точка устойчива при условии
0<К<1. (4.4.3)
Матрица А вычисляется с помощью (3.3.43) и (3.3.44) и дляперио-
е
Рис. 4.7. К методу Грина.
Периодические точки 1 с a =r/s (s = 12) приближают инвариантную кривую 2
с иррациональным числом вращения ос.
дической точки с а - r/s стандартного отображения ее можно записать в
виде
* / 1 К cos 0г \
А = IT п • (4.4.4)
Mil 1 + К COS 0; /
Из полученного выражения в принципе можно найти вычет R. Однако более
удобным методом нахождения вычета является представление его в виде
детерминанта, как показано Хеллеманом и
Переход к глобальной стохастичности
271
Баунтисом [183]:
2 -|- /С cos(c)! ¦-1
- 1 2 -j-К cos 02
О
R =
4
- 1
2 -[- К cos0,
(4.4.5)
Соответствующая матрица размерности s X s является тридиаго-нальной с
дополнительными элементами - 1 в двух углах. Если К велико, то R сх Rs.
Грин показал, что это верно также и для малых К, и на этом основании
принял такую же зависимость и для всех К¦ Следовательно, вычет
экспоненциально зависит от периода s. Для больших s значение R стремится
к нулю в устойчивом случае и неограниченно возрастает в неустойчивом.
Естественно поэтому исследовать поведение величины
которую Грин назвал средним вычетом. Постоянная |3 - 1 выбирается из
условия быстрой сходимости при численном итерировании, что дает
возможность получать надежные результаты для относительно малых s.
Условие устойчивости имеет вид: /<Д.
Золотое сечение. Можно показать (см., например, [227 ]), что наилучшим
способом аппроксимации иррационального числа рациональными является
разложение первого в непрерывную дробь. Для иррационального а на отрезке
(0, 1) такое разложение можно представить в виде
(4.4.6)
(4.4.7)
аз~\~ • • •
и символически записать как а = [од, а2, а3, . . . ], где ап -
положительные целые числа. Значение аг равно целой части 1/а
272
Глава 4
и т. д.1). Разложение в непрерывную дробь единственно, а подходящие дроби
rn s" = Iаъ . . . , ап] жз ап наилучшим образом аппроксимируют а в том
смысле, что не существует других дробей r/s, которые были бы ближе к а
для s ^ sn. Можно показать, что знаки последовательных разностей (а-
rn/sn) противоположны, a сходимость
I а------ j <----1------------------- (4.4.8)
I 5.7 i SnSn - l
является квадратичной по s для больших s. В качестве примера возьмем
число а - л-3 = 0,14159 ... , т. е. дробную часть л. Разложение его в
непрерывную дробь имеет вид
л -3= [7, 15, 293, . . . ]. (4.4.9)
Большие значения ап ясно указывают на быструю сходимость подходящих
дробей.
Можно ожидать, что инвариантная кривая, которая разрушается
последней с ростом возмущения, имеет число вращения а,
которое хуже всего приближается рациональными числами, т. е. разложение
которого в непрерывную дробь содержит минимальные ап- Очевидно, что таким
является число 2)
ag = [l, 1, 1, . . . ]= -л/52~-'~, (4.4.10)
особые свойства которого были давно известны и которое получило название
золотого сечения. Поэтому для определения границы стохастичности нужно
исследовать устойчивость периодических точек с agn ag. Численные
исследования стандартного отображения, действительно, показывают, что
последняя инвариантная кривая имеет а "з ag, подтверждая тем самым
интуитивное предположение Грина 3). Любое отображение, которое можно
локально аппроксимировать стандартным отображением, будет обладать этим
же свойством. Однако резонансная структура стандартного отображения
весьма специфична (она является однородной по импульсу). В более общем
случае это уже не так [117]. Мы обсудим этот вопрос в § 4.5.
При численном исследовании устойчивости сходимость улучшается, если
начальное значение R уже близко к предельному
2) Подобно тому как разложение в десятичную дробь (a = 2gnk~n; k = 10)
можно представить в виде отображения f>n+\ = k$n, modi; gn = - [/гРn]>
разложению в непрерывную дробь соответствует отображение: Рп+1 - 1 /Ря>
modi; а,г=|[1/М- Оба отображения, кстати говоря, приводят к хаотическому
движению для почти всех а (см., например, [486], гл. 7 и ниже).- Прим.
ред.
2) Это "очевидное" заключение обманчиво. Например, если не ограничиваться
положительными ап, то ag-1 = [-3, 3, -3, . . .].- Прим. ред.
3) В действительности ситуация как раз обратная: исходя из этого пред-
