Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
сумма обращается в нуль, за исключением членов т = т'. Послед-
ние дают постоянное слагаемое, которое можно опустить. Во второй сумме
остаются члены, для которых
2/ - 2л (т' + т) = 0 (4.2.12)
или с учетом (4.2.7)
т + т' = 2р+1. (4.2.13)
Для (4.2.11) это дает
Jj2 = А2 cos [26 -2л (2р+ 1 )п\ ^ 2 14)
4 (2л)2 - р---
Сумма по т не зависит от р:
1
= л2. (4.2.15)
Поэтому во втором порядке имеем
Я2=^_(^)2соз20, (4.2.16)
где
0 = 0 -я(2р+1)я (4.2.17)
- медленная фаза. Из (4.2.16) амплитуда колебаний / равна
А /гмаке=щрД. (4.2.18)
Значение К, соответствующее перекрытию целых и полуцелых
Переход к глобальной стохастичности
261
резонансов, находим с помощью подстановки (4.1.29) и (4.2.18) в (4.2.3):
2КХ/* + -у- К = я, (4.2.19)
что дает К" 1,46 [70]. Соотношение (4.2.19) все еще завышает критическое
значение К- Дальнейшее улучшение этой оценки возможно путем учета
резонансов более высоких гармоник (й>2), а также конечной ширины их
стохастических слоев. Чириков сделал и то и другое и нашел, что наиболее
существенным является учет ширины стохастического слоя.
Ширина стохастического слоя. Будем исходить из отображения
(4.1.6), которое описывает движение вблизи сепаратрисы резонанса:
wn+1 = wn - ay0sincf>", (4.1.6а)
49
фя + 1 = фл + Qo In • (4.1.66)
O'n+l
Здесь w - относительное отклонение энергии от ее значения /( на
сепаратрисе
w= (4.2.20)
а ф - фаза внешнего возмущения [ср = 2япв (4.1.26)] в тот момент,
когда фаза колебаний на резонансе проходит эллиптическую точку;
Qo - отношение частоты внешнего возмущения к частоте малых фазовых
колебаний:
Qo= -• (4.2.21)
К'2
Как было показано в п. 4.16, линеаризация уравнения (4.1.66) по w
приводит к стандартному отображению с параметром стохастичности
(4.1.9). Используя для w0 выражение (3.5.27), получаем
параметр стохастичности /С2 для вторичных резонансов вблизи
сепаратрисы в виде
р( ). (4.2.22)
Подставляя в это выражение (4.2.21) и требуя, чтобы на границе
стохастичности как для первичных, так и для вторичных резонансов Кч = К,
получаем полуширину стохастического слоя:
4 (2л)4 / -л2 \ ,. п
щ= - ехр/ -). (4.2.23)
/(59 \ К'2 J
Теперь нужно связать w1 с полушириной стохастического слоя AIs по
переменной действия при 0 = я. Для маятника с гамильтонианом
Я=- +Kcos0 (4.2.24)
262
Глава 4
энергия на сепаратрисе Н = К, а действие в точке 0 = л, согласно
(4.1.29), равно /0 = 2¦ Из (4.2.20) для энергии
Таким образом, уточненный критерий перекрытия (см. рис. 4.5, в) можно
записать в виде
Этот критерий означает, что ширина целого резонанса плюс ширина его
стохастического слоя плюс ширина полуцелого резонанса равна расстоянию
между центрами двух целых резонансов. Для получения критического значения
К, определяющего границу глобальной стохастичности, нужно решить
уравнение (4.2.29) с wt из (4.2.23). В результате находим К = 1,2. С
помощью дополнительных эвристических соображений *) Чириков [70 ] получил
К ж 1,06. Подробное численное исследование стандартного отображения [70 ]
дало в качестве верхней границы близкое значение К ж 0,99. В § 4.4 будет
показано, что более тонкий критерий стохастичности приводит к значению К
ж 0,9716.
Ускорение Ферми. Задача об ускорении Ферми'приводится к стандартному
отображению с К = 2яЛ4/ы? [см. (4.1.5)]. Для исходного нелинейного
отображения численно было найдено, что граница стохастичности находится
при иь = 2,8 УМ (см. рис. 3.15). Подстановка иь = иг дает К ж 0,8.
Отличие от значения К ж 1,0 для стандартного отображения можно легко
объяснить тем, что для этих двух случаев определение границы разное. Из
рис. 1.14 видно, что иь ж: 28 = 2,8 -у/М. Но полученное таким путем
значение иь является верхней границей стохастического движения
(4.2.25)
и фазы 0 = л из (4.2.24) найдем
/2 = 2К (2 -+• Wj),
(4.2.26)
и если а1 " 1, то
(4.2.27)
Следовательно,
(4.2.28)
(4.2.29)
г) Главное из них -поправка к интегралу Мельникова-Арнольда; она является
по существу чисто эмпирической, см. примечание редактора на с. 257.-
Прим. ред.
Переход к глобальной стохастичности
263
и соответствует первой инвариантной кривой. Однако более правильно
связать параметр стандартного отображения К со значением иг в центре
целого резонанса. Из рис. 1.14 видно, что иг = = 25 = 2,Ъл/М.
Соответствующие этому значения /С = 1,0 и а = 1/6 согласуются с
результатами для стандартного отображения. Уменьшение возмущения К (и)
при увеличении и для отображения Улама приводит к асимметрии, вследствие
которой инвариантные кривые ниже резонанса разрушаются, а выше
сохраняются. Можно ожидать, что чем сильнее зависимость К (и), тем больше
отклонения от стандартного отображения г).
§ 4.3. Вторичные резонансы
В этом параграфе мы рассмотрим вторичные резонансы вынужденных колебаний
маятника с гамильтонианом (4.1.26). Вследствие нелинейности свободных
колебаний маятника в движении присутствуют гармоники основной медленной
частоты со0. Эти гармоники могут оказаться в резонансе с быстрым внешним
