Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
появлению вторичных резонансов шестой гармоники (а0 = 1/6), вытекает
правило "двух третей" 2А/макс/б/ л: 2/3.
*) Конкретный смысл этого "универсального" утверждения зависит от
величины б/, см. ниже конец п. 4.4а.- Прим. ред.
Переход к глобальной стохастичности
257
* § 4.2. Перекрытие резонансов
* 4.2а. Схема получения критериев
В этом параграфе, следуя работе Чирикова [70 ], мы получим весьма
эффективный количественный критерий перехода к глобальной стохастичности.
Сначала, используя гамильтониан стандартного отображения, мы найдем
условие касания сепаратрис целых резонансов, что приведет к простейшему
критерию перекрытия К. -- л2/4 " 2,47. Далее, учтем полуцелый резонанс и
найдем более точное критическое значение К ~ 1,46. Это уже гораздо ближе
к численному результату [70], но все еще остается завышенным. Наконец,
учтем ширину стохастического слоя вблизи сепаратрисы. (Чириков нашел, что
резонансы третьей гармоники несущественны 1)). Для этого исследуем
перекрытие вторичных резонансов вблизи сепаратрисы целого резонанса. Это
может быть сделано либо путем перехода от сепаратрисного отображения (§
3.5) к новому стандартному отображению, как в п. 4.16 выше, либо путем
непосредственного вычисления размера вторичных резонансов вблизи
сепаратрисы, как в п. 4.36 ниже. Однако для получения точного условия
перекрытия вторичных резонансов необходимо ввести те же поправки, что и
для первичных и т. д. Можно ожидать, что такой процесс сходится и дает
правильный ответ. Вместо проведения соответствующих довольно утомительных
выкладок Чириков "замыкает" процедуру, вводя в отображение для вторичных
резонансов некоторый "корректирующий множитель" 2). Это позволяет
согласовать аналитические и численные результаты.
* 4.26. Вычисление критериев перекрытия
Простое перекрытие. Простейший критерий, как рис. 4.5, а, состоит в том,
чтобы удвоенное значение численное по (4.1.29), было равно расстоянию
между зонансами 81 = 2я, откуда
47С1/2 = 2я
или
K=(t)2~2,47- (4-2-2)
Э Это не совсем так. С учетом замечания Кари критическое значение
понижается до К " 1,28 [70, с. 317].- Прим. ред.
2) На самом деле речь идет о чисто эмпирическом множителе R " 2,15,
который учитывает поправки к интегралу Мельникова - Арнольда (3.5.22) за
счет отброшенных в (4.1.26) высокочастотных членов. Аналитическую оценку
R пока получить не удалось. Замыкание же процедуры ренормализации
резонансов- производится элементарно [см. вывод (4.2123) ниже].- Прим.
ред\ '
видно из Д7макс, вы-целыми ре-
(4.2.1)
258
Г лава 4
2 макс
Рис. 4.5. Схема перекрытия резонансов.
а - перекрытие (касание) целых резонансов; б-перекрытие целых и
полуцелого резонансов; е-перекрытие с учетом конечной ширины
стохастического слоя целого резонанса (заштри ховано).
Переход к глобальной стохастичности
259
Поскольку это значение К слишком велико, мы уточним его, приняв во
внимание полуцелый резонанс, который расположен посередине между
соседними целыми резонансами.
Перекрытие целого и полуцелого резонансов. Как показано на рис. 4.5, б,
касание сепаратрис этих резонансов приводит к условию
макс Т" 2 макс " (^-0l2 " *4 (4.2.3)
где индексы 1 и 2 обозначают соответственно целый и полуцелый резонансы.
Для вычисления ширины резонанса Д/2 нужно учесть вторую гармонику Фурье
(§ 2.4). Для стандартного отображения эта гармоника появляется только во
втором порядке теории возмущений, поскольку исходное возмущение К sin 0
имеет только первую гармонику. Так как полуцелый резонанс максимально
удален на фазовой плоскости от целых резонансов, то можно использовать
стандартную теорию возмущений.
Чтобы получить новый гамильтониан Н до второго порядка малости,
используем метод Ли, описанный в п. 2.56. Гамильтониан
(4.1.24) можно записать в виде
Н = #0-г = ----\-еК X cos(0-2л тп), (4.2.4)
2 т]= - °°
где, как обычно, параметр е отмечает возмущение. Прежде всего из
уравнения Депри (2.5.31а) первого порядка
{ic+lirh=H'-H' <4-2-5>
найдем производящую функцию Ли Так как (Нг) = 0, где скобки ( ) означают
усреднение по невозмущенной траектории, выберем Нг = 0 и решим (4.2.5)
относительно wp
щ = ¦sin (е ~ 23imnl. (4 2 6)
2ят - / V '
т
Поскольку полу целые резонансы расположены по / между целыми резонансами,
т. е.
I = (2p + 1) л, (4.2.7)
где р - целое число, то функция wl не является сингулярной.
Преобразованный гамильтониан Н теперь вычисляется из уравне ния Депри
второго порядка
(*г^7 -^)^ = 2(Я2~Я2)-[Ю1, 7Д + Я,], (4.2.8)
где Я2 и Нj равны нулю. Выберем Нг так, чтобы среднее от правой
260
Глава 4
части (4.2.8) обратилось в нуль:
Я2 =
Раскрывая скобки Пуассона
= (4-2.9)
Я2 =----------------------------------------(4.2,10)
2 \ д!г 50 / v '
и подставляя разложения для wx и Ях, получаем
Я2 =- / V sin(6~2jtraw) У sin (0 - 2я/м'п)\ =
2 \jtmd (2ят-/)2 ^ v /
т т'
- ** / V1 cos [2л (т'-/л) n] - cos [20 - 2л (т' + т) п] \ (А2
1\)
~ 4 \2и (2я/л-/)2 /
т, т'
При усреднении по невозмущенной траектории 0 = In первая
