Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 91

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 742 >> Следующая

рассматривается в § 4.3. Соответствующая техника разложения, основанная
на резонансной теории возмущений, описана в § 2.4.
Третий метод определения границы стохастичности базируется на анализе
линейной устойчивости движения вблизи центра резонанса (его периодической
траектории). Идея метода состоит в следующем. Поскольку потеря линейной
устойчивости для резонансов с наиболее низкой гармоникой (k = 1) является
слишком жестким условием, более эффективным критерием может служить
линейная устойчивость для тех резонансов на высоких гармониках k, которые
расположены вблизи некоторой инвариантной поверхности. Эта гипотеза была
численно проверена и подтверждена Грином [164, 165]. Более конкретно,
гипотеза Грина состоит в том, что существование инвариантной кривой с
иррациональным числом вра-
248
Глава 4
щения а зависит от устойчивости соседних периодических точек,
рациональные числа вращения которых сходятся к а. Предполагается также,
что эта устойчивость тем выше, чем хуже аппроксимация а рациональными
числами. Можно показать (§ 4.4), что на отрезке (0,1), т. е. между двумя
целыми резонансами (k = 1), иррациональным числом с наихудшей
рациональной аппроксимацией является так называемое золотое сечение
1) ag = (V5- 1)/2. Поэтому можно ожидать, что последней инвариантной
кривой, которая будет разрушена по мере роста возмущения, является именно
кривая с числом вращения а = ае. Это подтверждается и численными данными
Грина 2). Таким образом, эффективный критерий разрушения всех
инвариантных кривых между целыми резонансами сводится к исследованию
асимптотической (k оо) устойчивости периодических точек с а ag. Для
практической реализации этого критерия требуется быстрая сходимость при k
> 1, обеспечение которой облегчается следующим свойством периодических
точек при tz -оо. Если возмущение близко к критическому для некоторой
инвариантной кривой, то в окрестности приближающих ее периодических точек
возникают вторичные резонансы с а = 1/6, что соответствует приблизительно
границе устойчивости периодических точек. Этот факт связан с другим
наблюдением (см. § 4.2), что вблизи границы стохастичности такие же
вторичные резонансы появляются и внутри целых резонансов (k = 1).
Четвертый метод, предложенный Эсканде и Довейлом [17, 18], также основан
на анализе резонансов высоких гармоник в окрестности некоторой
инвариантной кривой. Однако в отличие от метода Грина это достигается
путем последовательной ренормализа-ции гамильтониана с сохранением его
формы. Этот метод не столь эффективен, как предыдущий, и в типичном
случае приводит к значению границы стохастичности на 3-4-10% ниже
фактического согласно численным данным 3). Полученные этим методом
результаты относятся к более общему случаю двух резонансов произвольной
величины. При этом "последняя инвариантная кривая" не связана, вообще
говоря, с золотым сечением. Метод и полученные с его помощью результаты
обсуждаются в § 4.5.
В заключение в § 4.6 кратко описан вариационный метод определения условий
существования инвариантных торов. В гамильтоновой форме он был развит
Персивалем [328], а в лагранжевой - Персивалем [330] и Клейном и Ли
[228]. Используемая в последней работе техника весьма близка к описанной
в п. 2.66 для нахож-
0 Таким же свойством обладают и все иррациональные числа вида "g -f- т,
где т - любое целое.
2) Но противоречит численным экспериментам, описанным в работе[76].
Обсуждение "золотой" гипотезы Грина см. в [76, 485].- Прим. ред.
3) Это расхождение (и даже его знак) может быть связано и с точностью
численного определения границы стохастичности при относительно коротком
времени счета в [17, 18] (см. [70], (4.49) и рис. 5.3).-¦ Прим. ред.
Переход к глобальной стохастичности
дения периодических траекторий и позволяет получить, как и метод Грина,
эффективный критерий разрушения инвариантных торов.
В § 4.7 приводится сравнение различных критериев перехода к глобальной
стохастичности и обсуждаются особенности их практического использования.
Подчеркивается, что простой критерий перекрытия дает оценку только по
порядку величины, но его легко применять в самых разных задачах. В
качестве более эффективного критерия в некоторых новых задачах можно
отказаться от сложных вычислительных процедур и прямо использовать уже
полученные решения, например результат Грина для стандартного
отображения, или вычисления Эсканде и Довейла. Все эти критерии приводят
к правилу "двух третей", которое является достаточно эффективным и
удобным для использования х). Более подробное обсуждение возможностей
различных критериев стохастичности и обширную библиографию можно найти в
обзорах Чирикова [70] и Табора
Если система имеет более чем две степени свободы, то резкой границы
стохастичности уже не существует. Это связано с тем, что все
стохастические слои резонансных сепаратрис в фазовом пространстве связаны
между собой. Возникающая при этом диффузия Арнольда является, вообще
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed