Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Н' = Н + Ш'. (3.5.6)
Сравнивая dJ/dt из (3.5.4) с dH/dt из (3.5.5), видим, что изменение У
пропорционально изменению Н:
АУ= ~у ¦. (3.5.7)
1) Выбор переменных J, 0 и сечения ф = 0 продиктован особенностями
действия возмущения вблизи сепаратрисы [см. ниже (3.5.12)]- --Прим. ред.
2) Вместо этого можно просто пренебречь изменением частоты coq (J) ввиду
малости изменения У, как фактически и сделано ниже.- Прим. ред.
Отображения и линейная устойчивость
239
Вычисление AJ. Проинтегрируем dH'dt, или, что эквивалентно, dJIdt по
периоду невозмущенного движения маятника. Как будет видно в дальнейшем,
изменение AJ мало и экспоненциально зависит от отношения частот q'r =
Q,'co0. Предположим, что
w0=(eFG)1/2<T<:Q, (3.5.8)
где io0 - частота малых колебаний маятника. Так как амплитуды Фурье Anq
уменьшаются с ростом я и | q |, достаточно сохранить лишь главный член с
ti = q = 1. Обозначив Л = Лп, получим из (3.1.31)
AJ
-т-S
dt sin
1
Ф ((r)оО -
(Ш + 0")
(3.5.9)
где для невозмущенного движения по сепаратрисе (1.3.21) (см. рис. 3.20,
а) имеем
Ф (s) = 4 arctg (es) - л,
(3.5.10)
e=Q/ + e". (3.5.И)
Величина % включена в постоянную 0", равную фазе 0 в момент я-го
пересечения поверхности ф 0. Переходя к переменной s = = oy0t и учитывая,
что вклад в интеграл дает только симметричная часть подынтегрального
выражения, получаем
AJ = Е s4{2г) (Qo) sin 0".
Ш0Л
Здесь функция
s4-m (Qo):
ds cos
¦ Ф (s) - QoS
называется интегралом Мельникова-Арнольда, а
о"=-^
Т й>0
есть отношение частот.
(3.5.12)
(3.5.13)
(3.5.14)
Интеграл Мельникова-Арнольда. Интеграл (3.5.13) является несобственным и
фактически не имеет определенного значения. Рассмотрим интеграл
(Qo. Si) - 2 ^
ds cos
ф (s) - QoS
(3.5.15)
Как видно из рис. 3.20, в, при sx ->¦ оо последний интеграл есть сумма
быстро осциллирующей части и некоторого среднего значе-
240
Глава 3
<p(s)
ния. Осциллирующая часть может быть велика по сравнению со средним, но
при усреднении по интервалу времени порядка периода колебаний вблизи
сепаратрисы вклад от нее стремится к нулю. Среднее значение М'т
определяется областью s <С 1 /Qo-В этой области мгновенная
частота ф да 2to0 (см- Рис-
3.20, б) достигает наибольшего значения, максимально приближаясь к
частоте возмущения Q. Это и приводит к поведению, изображенному на рис.
3.20, в. Ниже интеграл в (3.5.13) понимается в смысле своего среднего
значения. Его оценка была получена Мельниковым (см. [70]) 1). Для целых т
интеграл вычисляется точно с помощью вычетов. При Qn<0 имеем
•Я*.т (<Зо) = (-1ГХ X3#m( - Qo) ехр (nQo), _________________ (3.5.16)
0 Приведенные ниже экспоненциальные оценки были впервые получены еще
Пуанкаре [337, п. 226]. Поскольку, однако, при Qo 2> 1 эффект
экспоненциально мал, возникает очень серьезная и трудная проблема оценки
точности этого результата, которая до сих пор обсуждается в литературе
(см., например, [197, 483,
484]). По существу вопрос был решен уже в первых работах Мельникова
[298], который показал, что все неэкспоненциальные поправки могут быть
оттрансформированы с помощью канонической замены переменных (см. также
[314], лемма 10.3). Тем не менее в некоторых специальных случаях,
например, для стандартного отображения, эффекты высших приближений
приводят к появлению численного множителя порядка единицы, который пока
не поддается аналитической оценке (см. [70, § 6.1] и [485]).- Прим. ред.
Интеграл Мельникова - Ар-
Рис. 3.20. нольда.
а - движение по невозмущенной сепаратрисе <р (s); 6 - скорость движения
ф' (s); в -интеграл Мельникова - Арнольда равен среднему значению функции
C7fm(s1).
Отображения и линейная устойчивость
241
эта величина обычно очень мала. Для Q0>0 получаем
2л ехр (л90,'2)
sh (п(?о) V
Mi = 2Q0s41, (3.5.18)
и рекуррентное соотношение для т)>2 имеет вид
2 <?"
^ О^т-1
(т-1)
(3.5.19)
При Q0 т справедливо следующее асимптотическое представление:
sim = 4л (29о)т~1 ехр ( - ж?"/2) _ (3.5.20)
(т-1)! V
Подробности вычисления этих интегралов можно найти в работе [70].
Вернемся к соотношению (3.5.12). Используя асимптотику
(315.20) в виду того, что Q0 ~ е~1/2, получаем первое уравнение
возмущенного отображения поворота (3.1.13а) с функцией (г - 1)
f - fo sin0", (3.5.21)
fo - 8nAQ-1Qo ехр ( - JfL) ¦ (3.5.22)
* 3.56. Сепаратрисное отображение
Изменение фазы 0 между последовательными пересечениями поверхности q: = 0
определяется полупериодом колебаний вблизи сепаратрисы, который, согласно
(1.3.15), равен
Т = окт1 In -^-, (3.5.23)
0 |ш| v
где величина
w(J)=-eF ' QJ (3.5.24)
eF
.характеризует относительное смещение от сепаратрисы по энергии.
Изменение фазы 0 равно при этом просто QT. Отсюда число вращения во
втором уравнении отображения поворота (3.1.136) равно
2лос = -In -. (3.5.25)
ш0 [ш|
Так как функция f считается независящей от J, то из (3.1.16) еле' дует,
что можно положить g ~ 0, так что никакого дополнитель" ного изменения
фазы не происходит.
242
Глава 3
Оказывается, что более удобно перейти от J к переменной w, определяемой
