Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 87

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 742 >> Следующая

dti г = -оо
dn
(3.4.246)
где п играет роль непрерывной переменной времени. Уравнения
(3.4.24) имеют гамильтониан
Н = 2яМ 1пп + 2ехР (* 2яnl) cosф, (3.4.25)
где миф - канонические переменные.
Усредненные уравнения. В области больших и (и > М) частота колебаний
частицы 2я велика по сравнению с ф, т. е.
№я+1-фп)/2я С 1. (3.4.26)
В этом случае, как описано в п. 2.4а, гамильтониан (3.4.25) можно
усреднить по ми получить интеграл движения 2яУИ In м+ -f cos ф = С.
Однако область столь больших скоростей не представляет особого интереса.
Вместо этого введем новые переменные, как в резонансной теории возмущений
(§ 2.4):
Аи = и-MIm, ф = ф-2птп, (3.4.27)
где т- целое число. При условии А и иъ система уравнений
(3.4.24) принимает вид
d (Аи) _ ^ ехр ^ 2ям/) sin ф , (3.4.28а)
Аи (3.4.286)
dn i
rfqp 2я М
dn ц2
236
Глава 3
с гамильтонианом
А# = - + ? exp (i 2n.nl) cos ср. (3.4.29)
Но это как раз и есть гамильтониан фазовых колебаний (п. 2.4а) с учетом
высокочастотных членов. Если движение в плоскости (Аи, ф) считать
медленным, т. е. если
(фп+i- фл) <2я, (3.4.30)
то (3.4.29) можно усреднить по п. В результате получаем усредненный
гамильтониан
Аут 2пМ (Аи)2 , ~ " . "1Ч
АН =-------------5-А-- -f- cos ф = С, (3.4.31)
Щ 2
описывающий движение в окрестности неподвижных точек ф = 0; я и Аи = 0.
Максимум А и соответствует сепаратрисе (С = 4- 1) и равен [ср. (2.4.31)
]:
(Ан)макс = 2(2лМ)~ т. (3.4.32)
На рис. 3.12 и 1.14 инвариантные кривые системы (3.4.31), показанные
пунктиром, сравниваются с результатами численного моделирования.
Отношение частоты малых фазовых колебаний [ср. (2.4.30)]
щ = (2jtAf)12 (3.4.33)
U1
к частоте колебаний частицы 2лМ/и1 определяет гармонику вторичных
резонансов. Мы отложим эти вычисления, связанные с переходом к
стохастическому движению, до гл. 4.
* § 3.5. Движение в окрестности сепаратрисы
Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, близкую к интегрируемой. В
окрестности резонанса гамильтониан такой системы можно привести к
стандартному виду
Н - Я0 (J) +Gp2 - еЕсоэф, (3.5.1)
используя резонансную теорию возмущений и производя усреднение по быстрым
фазам (см. § 2.4). Здесь медленное движение описывается интегрируемой
системой уравнений маятника (см. п. 1.3а), а быстрое движение описывается
уравнениями:
J = const, (3.5.2)
0 = to0 (У) ^ + 0О. (3.5.3)
Мы знаем, что такая картина движения не является полной, так
как взаимодействие между быстрыми (переменные 0) и медленными
Отображения и линейная устойчивость
237
(переменная ср) колебаниями приводит к появлению вторичных резонансов и
областей стохастичности. В окрестности же сепаратрисы гамильтониана
(3.5.1) хаотическая компонента движения сохраняется даже в пределе е 0
(см. п. 3.2в).
р
J
6
Рис. 3.19. Движение вблизи сепаратрисы маятника.
а - плоскость сечения (р, ф) (0 = const); б - плоскость сечения (J, 6) (ф
= const). Стохастическая траектория заполняет заштрихованную область
вокруг невозмущенной сепаратрисы (сплошная линия).
Гамильтониан (3.5.1) был получен путем усреднения в окрестности резонанса
oVcoj = r/s следующего гамильтониана [см. (2.4.9)]:
Н = H0(J) Gp2 - eF cos cp-f-
238
Глава 3
+ e^An<?cos ф ^-Qt + Xn^, (3.5.4)
Л>1
9^0
где G, F, Л и % - функции переменной действия У, канонически сопряженной
быстрой фазе 0. Сравнивая (3.5.1) и (3.5.4), видим, что медленное
движение в переменных (р, ср) на поверхности сечения 0 = const,
описываемое гамильтонианом (3.5.1), возмущено, что приводит к появлению
тонкого стохастического слоя вокруг сепаратрисы. Этот слой схематически
показан на рис. 3.19, а вместе с невозмущенной сепаратрисой.
Можно также исследовать движение в переменных У, 0 на поверхности сечения
ср = const. В этих переменных невозмущенному движению соответствует линия
постоянного У. Под влиянием возмущения образуется стохастический слой,
заштрихованный на рис. 3.19, б. Видно, что в переменных У, 0 хаотическое
движение четко отделено от интегрируемого (тривиального) движения.
Построим поэтому отображение именно в переменных У, 0, выбрав для
удобства *) поверхность сечения ф"0.
*3.5а. Вынужденные колебания маятника
Прежде чем найти изменение переменной действия У, рассмотрим более
простую задачу. Дело в том, что при изменении У изменяется также и
частота сое (У). Более простая, но все еще интересная задача получается,
если считать частоту сое фиксированной. Это позволяет развязать
возмущенный маятник и остальную часть динамической системы. В таком
случае фаза 0 просто пропорциональна времени, а гамильтониан (3.5.4)
принимает вид 2)
H = -^-Gp2-eF cosqj + e^jj A""cos (^- ср-q- Q/'-f %ngJ .
(3.5.5)
где G, F, A, Q и % теперь постоянные, и мы
опустили член Н0 (У).
С точностью до членов порядка е гамильтонианы Н и Н полностью
эквивалентны. Это легко показать, если перейти к расширенному фазовому
пространству (п. 1.26) для гамильтониана (3.5.5) с новыми каноническими
переменными У' = - Н'/Я, и 0 = Ш и новым гамильтонианом
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed