Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 80

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 742 >> Следующая

определенного типа, то его можно представить в виде произведения двух
инволюций [104, 166]
Т = 121г. (3.3.34)
По определению отображение инволюции возвращает систему в начальное
состояние после двух итераций, т. е.
/? = /; Il = I, (3.3.35)
где / - тождественное отображение. Явное отображение поворота можно
представить в виде произведения двух инволюций при условии, что
функция f антисимметрична относительно некоторого
угла (для простоты положим этот угол равным нулю). В этом случае
отображение /х задается уравнениями:
J = Л + /(0л), (3.3.36а)
0 = - 0л, (3.3.366)
а отображение /2 есть
Л+1 = Л (3.3.37а)
0п+1=_0-|-2ла(7). (3.3.376)
Использование инволюций чрезвычайно облегчает нахождение периодических
точек. В самом деле, так как все точки отображения
214
Глава 3
инволюции имеют период 2, то особыми могут быть лишь неподвижные точки (с
периодом 1). А такие точки легко можно найти. Например, отображение I±
имеет следующие линии неподвижных точек
01 = О, л, mod 2л (3.3.38)
независимо от значения J и а /2 имеет линии неподвижных точек х2 при
202 = 2яа (Т2), mod2rc. (3.3.39)
Используя (3.3.34) и (3.3.35), можно показать, что если как х, так и Тпх
являются неподвижными точками отображения 11 (или /2), то л: является
также и неподвижной точкой отображения Т2П. В § 3.4 мы воспользуемся этим
методом для определения периодических точек отображения Улама. Грин
использовал этот метод для нахождения периодических точек большого
периода в случае стандартного отображения [165] и в задаче Хенона-Хейлеса
[166]. В обоих случаях отображение, а значит, и нечетная степень
отображения представимы в виде произведения инволюций. Поэтому
периодические точки этих отображений можно найти рассмотренным методом.
Так, например, отображение Т3 можно представить в виде произведения двух
инволюций следующим образом:
7, = (W0(Wi). (3.3.40)
Линеаризованное отображение. Разложим отображение вокруг периодической
траектории периода k\
-Voi х02 . . . -> х^ -> АГ01
и найдем линеаризованные уравнения движения в окрестности точки лг01:
AXnj^k = М (*0&) ' АXг. : Д.-1 - М (х0к) • М (*0"А-l) ' Ал:,. : Д-2
(3.3.41)
И Т. Д. ИЛИ
АлГл+а = Ах • Ахп. (3.3.42)
Здесь
Ai = М (*о&) ¦ М (*о, k-i) ¦ ¦ ¦ М (*oi) (3.3.43)
- упорядоченное произведение k матриц Mi = М (х0;), взятых в
последовательных точках периодической траектории, каждая из которых
/ п+1 dJn+i \
/ dJ п 50л \
"и". (3 3-44)
\ dJn 50" У
Отображения и линейная устойчивость
215
есть матрица Якоби отображения. В окрестности точки х0; аналогичным
образом приходим к выражению
= (3.3.45)
которое получается из Ах циклической перестановкой матриц.
Для возмущенного отображения поворота матрицу М можно получить путем
подстановки выражения (3.1.13а) для Jn+1 в (3.1.136), откуда (е = 1)
ЛМ1-1гГ;
Ми = Ми(2п-^г+-^-у, (3.3.46)
M22=l+M2 df ' д8
ае ае
Здесь 0 = 0Л, J = Jn+1, а якобиан отображения
detM_(1+^)/(l-i) (3.3.47)
определяет изменение фазовой площади. Полагая det М = 1, получаем условие
сохранения площади (3.1.16).
Для неподвижной точки Ai = Mi и движение в ее окрестности определяется
матрицей Ма. В случае же периодической точки с периодом, большим 1,
собственные значения и собственные векторы находятся из уравнения
А1-л: = Ъ: (3.3.48)
для движения вблизи точки лг01 или из уравнения
А2у = Ау (3.3.49)
для движения вблизи точки х02 и т. д. Однако подстановка А2 =
= МгА1-МГ1в уравнение (3.3.49) приводит его к уравнению
(3.3.48) с у = Mi*. По индукции аналогичным образом связаны также любые
А; и At_i. Отсюда следует, что собственные значения и условия
устойчивости одинаковы для всех точек одной периодической траектории.
Собственные же векторы для точки х0; выражаются посредством соотношения
*1 = М <_!• М Mi ¦*! (3.3.50)
через собственные векторы точки х01.
* З.Зв. Линейная устойчивость и инвариантные кривые
Собственные значения линеаризованного отображения являются корнями
уравнения (3.3.6):
/ аи-А 012 ) = о, \ g2i я22 А /
ИЛИ
A2-ASp А +1 = 0, (3.3.51)
216
Глава 3
где
Sp А Ctjj -j- ^22
и det А = 1 ввиду сохранения площади. Корни уравнения (3.3.51) равны
1 _ SpA
!• 2 - ^
J /SpA
U. (3.3.52)
Произведение корней = 1, а их сумма ^ + к2 есть вещественное число.
Возможны три случая.
1. Корни Л*, Л2 являются комплексно сопряженными и лежат на единичной
окружности (а Ф 0):
Кш = е±*. (3.3.53)
Это соответствует устойчивым решениям, причем
SpA = 2cosa, (3.3.54)
| Sp А |<2. (3.3.55)
2. Корни действительны и взаимно обратны
^2 = V1:^±U. (3.3.56)
так что
\К*\ = е±а (3.3.57)
и
|SpA| = |2cha|>2. (3.3.58)
Это соответствует экспоненциально растущему и убывающему решениям. Первое
(неустойчивое) решение может быть двух видов:
[Sp A>2(^>1) и SpAc-2(Я1< -1).
3. Корни равны
^ = ^ = ±1. (3.3.59)
Существование этих трех случаев следует также и непосредственно
из симметрии собственных значений. Выясним теперь физический смысл этих
решений.
Эллиптические траектории. В случае 1 общее решение имеет вид
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed