Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
было показано, как рассчитывать такие замкнутые кривые, другие примеры
будут приведены в § 3.4 и 3.5 и в последующих главах. Наши предыдущие
качественные рассуждения привели к выводу о чередовании эллиптических и
гиперболических точек на поверхности J = const, что совпадает с
результатами § 2.4 на основе теории возмущений. Наличие гомоклин-ных и
гетероклинных точек в окрестности гиперболической точки обусловливает
существование области хаотического движения, ограниченной инвариантными
кривыми.
Увеличивая J ъ мы придем к следующему существенному резонансу = со2/5 с
цепочкой из пяти островков. При дальнейшем увеличении J ± будут
последовательно встречаться резонансы с числом островков, равным шести,
семи и т. д. При этом между каждыми двумя из этих главных резонансов
существует еще и бесконечно много промежуточных резонансов,
соответствующих всем промежуточным рациональным отношениям частот. Однако
величина последних резонансов, как было показано в § 2.4, быстро убывает.
Так, например, одним из промежуточных резонансов между двумя главными
резонансами с в = 1/4 и в = 1/5 является резонанс с а = 2/9, т. е. с г =
2 и s = 9. Его размер относится к размеру резонанса с а = 1/5 как
квадратный корень из отношения соответствующих амплитуд фурье-разложения
возмущения. В самом деле, используя выражение (2.4.31), получаем
А У,
вНг, _s
1/2, (3.2.37)
д H0ldJ^
где #r,_s - амплитуда фурье-разложения соответствующей резонансной
гармоники. Максимальная величина фурье-амплитуды равна (см. п. 2.46):
ЯП'^/Дя),
где tfs - функция Бесселя. В результате находим грубую оценку отношения
размера резонансов:
AJ (sir = 912) A J (sir = 5)
/9 (М
. /НМ
42 "0,1. (3.2.38)
Таким образом, относительный размер резонансов более высоких гармоник
весьма мал.
В итоге мы приходим к качественной картине структуры отображения,
представленной на рис. 3.5, а. Инвариантные кривые изображены здесь
сплошными линиями. Те из них, которые окру-
202
Глава 3
Рис. 3.5. Регулярные и стохастические траектории при относительне большом
возмущении.
а - вблизи первичного резонанса; б - вблизи вторичного резонанса
(увеличено и растя* нуто по вертикали).
Отображения и линейная устойчивость
203
жают начало координат (J г - 0), при наличии возмущения уже не являются
окружностями и соответствуют новым интегралам движения Jг = const, a J х
является периодической функцией фазы. Приближенные значения этих
инвариантов можно получить методом усреднения (§ 2.3). Инвариантные
кривые, окружающие эллиптические точки, нельзя найти таким способом, но
они получаются с помощью резонансной теории возмущений (§ 2.4). Для
траекторий же вблизи сепаратрис интеграл движения не существует, и они
заполняют на поверхности сечения некоторую конечную область. Несколько
таких областей показаны на рис. 3.5, а штриховкой. Они ограничены
инвариантными кривыми. Между резонансом с а = 1/4 и а = 1/5 расположен
более мелкий, но все еще различимый резонанс с а = 2/9. Есть, конечно, и
все другие промежуточные резонансы. Однако они не показаны на рисунке
либо потому, что имеют слишком малые размеры и неразличимы в принятом
масштабе, либо потому, что они целиком погружены в хаотические области
других резонансов.
Что же мы увидим, если увеличить масштаб в окрестности какого-либо
островка одного из _резонансов? Для этого перейдем сначала к новым
переменным Jlf 02 (§ 2.4) и введем новую переменную действия
(3.2.39)
соответствующую замкнутой траектории вокруг эллиптической точки с
заданным а. При этом траектории исходного резонанса преобразуются в
систему концентрических окружностей. Однако резонансы между этими
колебаниями и основными частотами системы приводят к возникновению
вторичных резонансов, которые деформируют окружности. Мы уже
рассматривали вторичные резонансы в п. 2.46 и нашли, что их размер и
частота фазовых колебаний экспоненциально малых) с показателем,
пропорциональным (1/а)'/а. Для ширины вторичных - резонансов можно
получить оценку, аналогичную (3.2.37). Мы отложим это до гл. 4, а сейчас
ограничимся качественной иллюстрацией результата с помощью рис. 3.5, б.
Отметим, что отношение размера вторичных резонансов к расстоянию между
ними значительно меньше, чем для первичных резонансов. Эта качественная
картина резонансов разных масштабов подтверждает вывод теории КАМ (п.
3.2а): при достаточно малом возмущении большая часть фазового
пространства заполнена инвариантными торами.
Следующие соображения помогут лучше представить себе эту иерархию
резонансов. Возьмем произвольную точку поверхности сечения и будем
растягивать область вокруг этой точки, пока не
*) Точнее, см. оценку (2.4.62).- Прим. ред.
204
Глава 3
увидим какую-то резонансную структуру. Для достаточно малого возмущения
выбранная точка будет с большой вероятностью лежать на инвариантной
кривой, хотя вокруг нее и расположены стохастические области различных
резонансов. Повторим теперь эту процедуру, т. е. снова выберем
