Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 75

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 742 >> Следующая

отличие от интегрируемой системы сепаратриса Я-, выходящая из
гиперболической точки, не соединяет ее с соседней, а в типичном случае
пересекает сепаратрису Я+, приходящую в соседнюю (сдвинутую по фазе на
2n/^s) гиперболическую точку. Место пересечения называется гомоклинной
точкой, так как она соединяет выходящую и входящую сепаратрисы одного и
того же резонанса. Пересечения сепаратрис соседних резонансов называются
гетероклинными точками. Легко показать, что если существует одно
пересечение, то их существует и бесконечно много.
Такое чрезвычайно сложное поведение можно представить себе несколько
более наглядно с помощью следующей схемы, как это было сделано впервые
Мельниковым [298]. Рассмотрим гиперболическую точку и ее отображение, как
показано на рис. 3.4, а. Из пересечения сепаратрис Я- и Я+ в гомоклинной
точке х следует, что они пересекаются и в точках х', х" и т. д. При этом
точка х" расположена к х' ближе, чем х' к х. Так как области, заключенные
между взаимно пересекающимися кривыми Я- и Я+ (они заштрихованы на
рисунке), являются отображениями одна другой, то их площади равны.
Следовательно, между точками х' и х" кривая Я- отклоняется от Я+ сильнее,
чем между xylx'. Последующие пересечения сепаратрис все более и более
сближаются, а амплитуда осцилляций Я- возрастает. На рисунке не
изображена сепаратриса Я+, приближающаяся к левой гиперболической точке
сверху. Она осциллирует так же сильно, как и Я- справа. Все сказанное
относится и к двум другим сепаратрисам в нижней части рисунка. На рис.
3.4, б приведены численные результаты Драгта и Финна [107],
иллюстрирующие пересечение сепаратрис в окрестности гиперболической
точки. Сепаратриса Я-, выходящая из соседней гиперболической точки слева,
осциллирует при приближении к гиперболической точке справа, а сепаратриса
Я+ (не показанная на рис. 3.4, а) осциллирует, удаляясь от нее.
В Важную роль в этих исследованиях сыграли также работы Мельнй' нова
[298, 299].- Прим. ред.
200
Глава 3
Для численного определения сепаратрис, например Н~, выбираем произвольную
точку на кривой Н~ вблизи той гиперболической точки, из которой она
выходит, и проводим прямую между выбранной точкой и ее отображением.
Последовательные итерации этого отрезка и дают осциллирующую сепаратрису
Н~, приближающуюся к соседней гиперболической точке справа.
Сами по себе гомоклинные точки еще не дают полной картины всей этой очень
сложной области вблизи сепаратрисы. Так как период фазовых колебаний
обращается в бесконечность на сепаратрисе, то в ее окрестности имеется
бесконечно много вторичных резонанов, соответствующих высоким гармоникам
частоты фазовых колебаний. Каждый из этих резонансов имеет свою
собственную систему чередующихся эллиптических и гиперболических точек,
со своим сложным движением в их окрестности и многократными пересечениями
как своих сепаратрис, так и сепаратрис первичного резонанса в
гетероклинных точках. Все эти сепаратрисы, по-видимому, всюду плотно
заполняют доступное им фазовое пространство. Пересечение сепаратрис
фактически показывает, что в этой области не могут существовать
инвариантные торы вследствие изменения топологии траекторий1). Подробное
обсуждение этих вопросов дано Драгтом и Финном [107]. Однако для малых
возмущений все это чрезвычайно сложное поведение происходит лишь в
ограниченной инвариантными кривыми области фазового пространства (рис.
3.4, а).
* 3.2в. Полное описание нелинейного отображения
Теперь мы можем полностью описать структуру отображения, например
поверхность сечения нелинейного осциллятора с двумя степенями свободы.
Очень схематично топология такого отображения дана Арнольдом и Авезом
[14]. Рассмотрим случай умеренного возмущения, когда многие невозмущенные
инвариантные кривые (J = const, см. рис. 3.1, б) сохраняются и при
наличии возмущения. Будем считать для определенности, что daJdJ г<с0, а а
= = со01/со02 = 1/я (иррациональное число) при J1 = 0. С ростом J1
частота о"! уменьшается, пока не достигнет значения, соответствующего
первому существенному резонансу сох = со2/4. При этом на поверхности
сечения образуется цепочка из четырех островков. Другими словами, если
начальные условия траектории совпадают
Б Связь гомоклинной структуры с неинтегрируемостью обсуждалась еще
Пуанкаре [337] и была строго доказана в работе [478] (см. такжеН479,
480]). Следует, однако, иметь в виду, что это локальная
неинтегрируемость, имеющая место лишь на множестве начальных условий,
вообще говоря, малой меры, дополнительном к большинству начальных
условий, для которых инвариантные торы сохраняются согласно теории КАМ
(см. ниже и [477]).- Прим. ред.
Отображения и линейная устойчивость
201
с периодической точкой отображения, то соответствующая траектория,
помеченная точками л:0, лг1( ... на рис. 3.1, б, сделает четыре витка
вокруг тора. Для близких соседних точек величина dJJdt =^= 0, и их
траектории на поверхности сечения охватывают периодические точки. В § 2.4
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed