Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
(наружные стрелки на рис. 2.3). Существует и инвариантная кривая с a<r/s,
которая после s итераций окажется поверну-
Рис. 3.3. К теореме Пуанкаре-Биркгофа.
Пересечения сплошной кривой, для всех точек которой полярный угол 0
остается Неизменным после s итераций, с s-й итерацией этой кривой
(пунктирной) определяют периодические точки отображения.
той по часовой стрелке (внутренние стрелки). Следовательно, между этими
двумя кривыми должна существовать некая (не инвариантная) кривая (на рис.
3.3 - сплошная линия), угловые координаты точек которой не изменяются
после s итераций. Радиальные же координаты изменяются таким образом, что
сплошная линия на рис. 3.3 переходит в пунктирную. Так как отображение
сохраняет площадь, то обе кривые ограничивают одинаковые площади. А это
возможно, лишь если эти кривые взаимно пересекаются четное число раз.
После s итераций каждая точка пересечения возвращается в исходное
положение и, таким образом, каждая из s ее итераций является
периодической точкой. При четном числе пересечений всего должно быть 2ks
таких точек, которые называются пе-
Отображения и линейная устойчивость
197
риодическими точками Пуанкаре-Биркгофа. Теорема ничего не говорит о
величине k, хотя обычно k = 1.
Если мы более подробно рассмотрим отображение в окрестности периодических
точек на рис. 3.3, то заметим, что существуют два различных типа
поведения. Вблизи эллиптической точки (см. рис. 3.3) соседние точки как
бы вращаются вокруг нее. В противоположность этому вблизи гиперболической
точки соседние точки уходят из ее окрестности. Мы уже встречались с
поведением такого типа при рассмотрении движения в фазовом пространстве
простого маятника в § 1.3. Там мы нашли цепочки чередующихся
эллиптических и гиперболических точек, причем первые окружены регулярными
траекториями, а вторые соединены между собой сепаратрисами. Такая картина
является типичной для нелинейных колебаний при малом возмущении.
Эллиптические точки. В § 2.4 путем перехода к переменным, связанным с
эллиптической точкой, нам удалось исследовать все более и более мелкие
области регулярного движения на фазовой плоскости. Мы видели, что вокруг
эллиптической точки существует своя система резонансов (периодических
точек) более высокого порядка, движение вокруг которых повторяет исходное
на более мелком масштабе. Было показано также [см. (2.4.62) и последующее
обсуждение], что возмущение в высших порядках очень быстро уменьшается с
s (пропорционально 1/s!). Если исходное возмущение мало, то фазовая
плоскость заполнена, в основном, инвариантными кривыми, топология которых
такая же, как и у невозмущенной системы. Остальная часть фазовой
плоскости вокруг эллиптических точек заполнена инвариантными кривыми
другой топологии. Можно ли сказать, что вся фазовая плоскость заполнена
инвариантными кривыми все возрастающей сложности и все более мелких
масштабов, пока с ростом возмущения вся эта структура внезапно не
разрушается, переходя в стохастичность? Оказывается, что нет. В типичном
случае области стохастичности существуют в окрестности сепаратрис
(связанных с гиперболическими точками) при любом возмущении и растут
вместе с ним.
Гиперболические точки. Рассмотрим поведение отображения в окрестности
гиперболической точки. Мы уже знаем, что осциллятор с одной степенью
свободы, как, например, маятник, имеет сепаратрису, которая соединяет
гиперболические точки, приближаясь к одной из них и удаляясь от другой. У
маятника есть лишь одна гиперболическая точка, но в общем случае имеется
цепочка из ks гиперболических точек. В интегрируемом случае они
соединяются между собой гладкой сепаратрисой. В случае же неинтегрируемой
системы с несколькими степенями свободы или соответствующего отображения
вида (3.1.13) ситуация оказывается значительно более сложной. Следуя
Берри [26 ], мы качественно опишем картину
198
Глава 3
X
Б
Рис. 3.4. Гомоклинная точка и стохастичность вблизи сепаратрисы (числовые
данные из работы '^ [107]).
а - входящая (Я"Ь) и выходящая (f/ ) сепаратрисы пересекаются
в бесконечном числе
точек (схема); б - более подробная картина пересечений вблизи
гиперболической точки.
Отображения и линейная устойчивость
199
поведения сепаратрис, основанную на работах Пуанкаре [337], Биркгофа [30]
и Смейла [381 ] 1). Близкое изложение содержится в книгах Арнольда и
Авеза [14] и Мозера [310].
Гиперболическая точка соединяет четыре траектории: две входящие (Я+) и
две выходящие (Я-). Точка х принадлежит сепаратрисе Я+, если в результате
последовательных отображений Тпх она приближается к гиперболической точке
при п->¦ оо. Если же это происходит в результате обратных отображений
Т~пх, то точка х принадлежит сепаратрисе Я-. Поскольку на сепаратрисе
период колебаний бесконечен, движение точки х становится все более и
более медленным по мере приближения к гиперболической точке. Рассмотрим
теперь две соседние гиперболические точки одного и того же резонанса. В
