Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 735

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 729 730 731 732 733 734 < 735 > 736 737 738 739 740 741 .. 742 >> Следующая

ГУ1, найденное из конечно-разностных уравнений (6.5.4); А = 2, В = 5,45,
DK = 0,008, Dy = 0,004, L = 0,75, m - 19, n = 5. Окончательное значение T
= 3,3073; в качестве фиксированного значения одной из неизвестных
выбиралось у\ = 3,4. Найденное решение является симметричным по
переменной z относительно точки z = 0,5; поэтому х| = Д, х[ = х{, i/| =
(/?
И = !/{¦
I X1 Х1 X1' 2 у{ "2
0 1,539 1,238 3,400 3,769
1 1,592 1,241 3,422 3,906
2 1,692 1,294 3,379 3,986
3 1,851 1,424 3,251 2,973
4 2,073 1,693 3,023 3,783
6 2,570 2,868 2,392 2,504
8 2,667 3,232 2,069 1,683
10 2,368 2,632 2,187 1,926
12 2,023 2,102 2,474 2,324
14 1,755 1,708 2,799 2,758
16 1,586 1,433 3,101 3,196
18 1,524 1,272 3,331 3,598
19 1,539 1,238 3,400 3,769
На рис. 6.17 показан еще один способ изображения периодического решения в
распределенных системах (ср. с рис. 6.13). Этот способ удобен в тех
случаях, когда профили решения качественно сохраняют свою форму и
изменяются не слишком сильно (так, чтобы на рисунке не перекрывать друг
друга).
Для продолжения периодического решения при изменении параметра, например
параметра L, можно разработать алгоритм, основанный на конечно-разностной
схеме (6.5.4). Вблизи точек поворота величину L необходимо рассматривать
как неизвестную и последовательно изменять значения какой-либо другой
переменной, например Т.
348
Глава 6
6.5.2. Решения волнового характера
Рассмотрим сначала уравнения с частными производными
(4.3.7) без граничных условий на бесконечном интервале изменения
независимой переменной г. Подстановка
х (z, t) - ф (z - ct), у (z, t) = ф (z - ct) (6.5.5)
в уравнения (4.3.7) приводит к системе двух обыкновенных диф-
Рис. 6.17. Периодическое решение задачи 11 при ГУ1, найденное с помощью
разностных уравнений (6.5.4): m = 18, п - 5, А - 2, В - 5,45, Дх = 0,008,
Оу = 0,004, Г = 3,3073.
ферендиальных уравнений 2-го порядка для функций ф(|) и Ф(1):
= ф" + f (Ф. Ф)> ( =~щ - Сф' = -?1гФ" + &(ф, Ф).
Периодические решения, а также гомоклинические и гете-роклинические
траектории системы (6.5.6) соответствуют решениям волнового типа исходной
системы.
Обратимся теперь к случаю конечного промежутка изменения переменной z и
рассмотрим вновь систему (4.3.7) с соответствующими граничными условиями.
(6.5.6)
6.5. Периодические решения в распределенных системах 349
Заметим, что нелинейные дифференциальные уравнения с частными
производными параболического типа могут обнаруживать характерные свойства
гиперболических систем: они могут иметь решения, которые можно назвать
решениями волнового характера на конечном интервале изменения
пространственной переменной. Изложение мы будем вести на примере задачи
12.
В первой части этого пункта мы рассмотрим решения типа импульса, а во
второй части исследуем волну типа фронта (см. § 2.6).
6.5.2.1. Волна типа импульса
Волновые решения уравнений (4.3.7) зависят от свойств системы,
получающейся при Dx-*-0, Dy-*-0. Рассмотрим задачу 12, т. е. зададим / и
g формулами (Р12-1) и (Р12-2). Выберем следующие значения параметров: у =
3, v0 = 0,01, (3 =
Рис. 6.18. Фазовый портрет системы (Р4-1), (Р4-2): у = 3, vo = 0,01, |3 =
= 1,5, 6=1, а = 12; Si, S2, S3 - стационарные решения.
= 1,5, 6=1, а = 12. Соответствующая система при Dx = - Dy - 0 (см. (Р4-
1), (Р4-2)) будет иметь три стационарных решения:
Sb хх = 0,11566, г/[ = 0,19618 (устойчивый фокус);
S2: *2 = 0,37278, г/2 = 0,89151 (седло);
S3: *з = 0,70063, г/3 = 3,51059 (неустойчивый узел).
На рис. 6.18 кроме стационарных состояний показаны нулевые изоклины
функций / и g. Пунктиром изображена одна из траекторий. Из рисунка видно,
что относительно малое возмущение стационарного состояния S] может
вызвать изменение переменных состояния по "циклу возбуждения"; система
уходит при этом далеко от устойчивого стационарного состояния.
350
Глава 6
(Если выбрать начальное условие справа от Si за нулевой изоклиной функции
f, то фазовая траектория закручивается вокруг состояния S3, и лишь потом
устремляется к Si.)
Выберем теперь для уравнений (4.3.7) в задаче 12 следующие граничные
условия:
2 = 0: *(0, t) = xp, у (0, t) - уь (6.5.7а)
г=1; dxiXt)_ = 0) ^Л = 0. (6.5.7Ь)
Если хр = Х\ (х\ и у 1 представляют собой значения х и у в стационарном
состоянии Si, см. выше), то задача имеет тривиальное решение x(z,t)==xt,
y(z,t) = y\, которое является устойчивым. Таким образом, величина хр
характеризует собой
Рис. 6.19. Бегущая волна в задаче 12 при ГУ2: у = 3, vo = 0,01, р = 1,5,
б = 1, а = 12, Dx = 0,008, Dy = 0,004, L = 2,5, хр = 2; v = 0,108, Т =
8,0.
возмущение переменной х на левом конце промежутка. На правом конце заданы
граничные условия второго рода, которые описывают непроницаемую для
исследуемых веществ стенку. Уравнения (4.3.7) решались посредством
конечно-разностной схемы типа Кранка - Николсона с заменой нелинейности с
помощью отрезка ряда Тейлора (см. § 6.4) при п= 160, т = 0,1. Если
выбирать хр не слишком близко к х\, то в системе начинают возникать волны
Предыдущая << 1 .. 729 730 731 732 733 734 < 735 > 736 737 738 739 740 741 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed