Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 733

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 727 728 729 730 731 732 < 733 > 734 735 736 737 738 739 .. 742 >> Следующая

условий. В качестве примера того, как может выглядеть периодическое
решение в распределенной системе, на рис. 6.13 при-
6.5. Периодические решения в распределенных системах
341
ведено периодическое решение задачи 11 для случая ГУ1. На рисунке
показано несколько типичных профилей переменной х для нескольких моментов
времени в течение одного периода.
В п. 6.3.3.2 мы определили точку комплексной бифуркации для задачи 14
(см. табл. 6.11). Динамическое моделирование уравнений (Р14-7), (Р14-8)
для значений параметра Da из окрестности Da+ " 0,1254(Da < Da+) показало,
что в данном случае существует ветвь периодических решений для значений
Da е (0,122; 0,1254). Значения конверсии и температур на входе в реактор
и на выходе из него, т. е. величины г/(ОД), в (ОД) и y(\,t), в(1Д),
представлены на фазовой диаграмме у - 0 (рис. 6.14).
Рис. 6.14. Устойчивое периодическое решение задачи 14 (две проекции);
у^оо, В = 12, Р = 2, вс = 0, Da = 0,123, Le = 1.
Продолжение периодических решений по параметру для указанного случая
можно проводить, применяя вышеописанный подход (т. е. численно моделируя
процесс стабилизации) для некоторой последовательности значений данного
параметра. Другая возможность состоит в использовании квазистационар-ного
описания (см. § 6.6).
Процесс стабилизации (установления) обладает тем очевидным недостатком,
что с его помощью можно получать только устойчивые периодические решения.
Рассмотрим теперь два других подхода, которые позволяют находить и
неустойчивые периодические решения.
€.5.1.1. Метод стрельбы в рамках метода прямых
Если для аппроксимации параболических уравнений (4.3.7) воспользоваться
методом прямых (п. 6.4.5), то условия (6.5.1) лринимают вид (/ = 0)
(Т) = Xi (0), yt (Г) = у{ (0), i = 1, 2, ..., п - 1. (6.5.2)
342
Глава 6
Тем самым мы получаем нелинейную краевую задачу (см., например, (6.4.24))
для 2(п - 1) дифференциальных уравнений первого порядка со смешанными
граничными условиями
(6.5.2).11 Ситуация здесь полностью аналогична той, которая имела место
для задач, прямо приводящих к обыкновенным дифференциальным уравнениям
(ср. (5.8.1), (5.8.2)), однако размерность изучаемой системы оказывается
большой. Таким образом, мы можем использовать методику § 5.8, которая
основывалась на методе стрельбы, а также на идее алгоритма продолжения
DERPER (см. п. 5.8.4).
Продемонстрируем использование метода прямых на примере задачи 11 с
граничными условиями первого рода. Используя трехточечную замену по
переменной z, получим
dx. D
== i_2h2 1 "Ь-^<+i) f (-^ь ?/")> (6.5.За)1
~Ш~ = 2yi + yt+i) + g(xi> Уд (6.5.3b)
при i= 1, 2 n - 1; h = 1/n, x0 = xn - x, y0 = yn = y.
Для численного решения были выбраны следующие параметры задачи: А =2, В =
5,45, Dx = 0,008, Dy = 0,004. В случае ГУ1 мы имеем тривиальное
стационарное решение х(^) = = х = А, y(t)=y = B/A, устойчивое при 0. С
помощью методики, описанной в 6.3.1, находим критическую длину,
отвечающую комплексной бифуркации Lt = 0,5130 (вещественные бифуркации
при изменении параметра L не наблюдаются). Следовательно, тривиальное
решение является устойчивым при. Le(0, Li+)h неустойчивым при L > L\. При
значении L - L\ от ветви тривиальных решений отходит ветвь устойчивых
периодических решений. Диаграмма периодических решений, построенная для
вышеприведенной системы с помощью алгоритма продолжения DERPER, показана
на рис. 6.15.
Добавим еще несколько замечаний по поводу этого рисунка. Как уже сказано,
при значении параметра L = L\ от ветви стационарных решений отходит ветвь
периодических решений (существующая при L>Z,f). Этой ветви принадлежит, в
частности, устойчивое периодическое решение при L - 0,75, показанное на
рис. 6.13. Периодические решения с указанной ветви, как это следует из
рис. 6.13, являются пространственно симметричными: для всякого t и ze[0,
1] имеют место соотношения
п "Смешанное" условие включает значения решения на обоих концах отрезка 0
t < Т. - Прим. ред.
6.5. Периодические решения в распределенных системах
343
x(z, t) = х( 1-z,t)\ y{z,t) = у{ 1 - z,t). В точке, обозначенной на рис.
6.15 буквамиТПС, периодические решения утрачивают устойчивость
(происходит бифуркация типа "+1") и от исходной ветви симметричных
решений отделяется ветвь устойчивых пространственно несимметричных
решений. Заметим, что в данном случае имеются две такие ветви; они
содержат периодические решения, которые (при заданном L) обладают
одинаковым
Рис. 6.15. Диаграмма периодических решений для задачи 11 при ГУ1;
зависимость периода Т (А = 2, В = 5,45, Dx = 0,008, Dy = 0,004). Метод
прямых (6.5.3), п - 20. Сплошные линии - устойчивые периодические
решения, штриховые - неустойчивые периодические решения, Гь Т2, Тз -
точки бифуркации типа тора, ТПС - точка бифуркации с потерей симметрии.
периодом Т. При этом для любого t их пространственные профили являются
взаимно симметричными, т. е. при произвольном z е [0, 1] выполняется
x(I)(z, t) = x{2'>( 1-z, t), yw(z,t) = = г/(2>(1-z,t), где верхний индекс
Предыдущая << 1 .. 727 728 729 730 731 732 < 733 > 734 735 736 737 738 739 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed