Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 727

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 721 722 723 724 725 726 < 727 > 728 729 730 731 732 733 .. 742 >> Следующая

метода. Обратимся вновь к системе (4.3.7) с граничными условиями типа 1,
т. е. условиями х(0, t) = х(\, t) = х\ y(Q,t) = y(l,t) = y (см. (4.3.9)).
Обозначим через 2 линеаризованный оператор правых частей уравнений
(4.3.7) и вычислим его для стационарного решения x0(z), yo(z), т. е. для
решения уравнений (6.1.1), (6.1.2). Вид
оператора 2 задается выражением (6.3.2) = -^-(x0(z), yQ(z))
и т. д.).
В точке комплексной бифуркации оператор 2 имеет чисто мнимое собственное
число %, = is и, следовательно, имеется ненулевое решение и уравнения
2и = isu; и = ^ ^ • (6.3.32)
Положим u = Ur + tUi, v = Hr + ivi и w = wR + iffli. Отделяя теперь
вещественную и мнимую части в соотношении (6.3.32), находим
2iir = -sub (6.3.33)
2ui = SUr,
или, более подробно,
" . L? rdf . df 1
4+b\.Kv*+djiw*\=-sttl' Vi+-^[^VI+'^'WI]^SVR' (6-3-34)
< + т; [If + w(r)r] = -5Ш1'
w" + T^[wVl + TfWl]=SWR-
Граничные условия для функций vr, Vi, (r)r, wi с учетом формул (4.3.9)
имеют вид
vr (0) = vi (0) = wr (0) = Wi (0) = 0, (6.3.35)
Vr (1) = Vi (1) = Wr (1) = Wi (1) = 0. (6.3.36)
Собственная функция u = (v, w) определена с точностью до ненулевого
комплексного множителя. Это означает, что для функций v(z) и w(z) мы
можем достаточно произвольно задать два фиксированных ненулевых значения.
Двумя возмож-
6.3. Нахождение точек ветвления
325
ными примерами такого выбора могут служить условия
(6.3.37а)
или
o'R(0)=l, 0)=1.
(6.3.37b)
Читатель сам может предложить другие комбинации.
Таким образом, мы получили систему обыкновенных дифференциальных
уравнений (6.1.1), (6.1.2), (6.3.34) (суммарно
12-го порядка) с 14-ю граничными условиями (4.3.9), (6.3.35) - (6.3.37) и
с двумя параметрами s, L, которые нам предстоит определить в точке
комплексной бифуркации. Число уравнений "согласовано" с числом
неизвестных, и описанную задачу можно пытаться решать либо с помощью
разностных методов, либо методом стрельбы. Рассмотрим здесь оба этих
подхода.
Разностный подход. Заменим вторые производные простейшими трехточечными
центрально-разностными соотношениями. В результате вместо уравнений
(6.1.1), (6.1.2) и (6.3.34) мы получим следующую систему (ср. с
(6.3.31)):
где i - 1, ..., n - 1.
Дополним эту систему очевидными граничными условиями:
х0 = хп = х, Уа = уп = у, "15,0 = 01,0 = ^,0 = 02)1.0 = 0;
OR, п = 01, " = WR, п = WI, п = о.
Тем самым мы получим систему 6(л+1) нелинейных (алгебраических) уравнений
относительно 6(л+1) + 2 неизвестных
Xi, yi, Or, ", Vl ,i, WRtiWLi, (/ = 0, ..., n), S, L.
В качестве двух недостающих условий можно, например, взять соотношения
(6.3.37а). Полученную в результате систему 6(п+1) + 2 нелинейных
алгебраических уравнений можно решать с помощью метода Ньютона.
В п. 6.3.3.1 мы рассмотрели аппроксимацию исходных дифференциальных
уравнений в частных производных системой
Xi - 1 2Х{ -(- fi 0, fi f(Xj, У(),
yi-1 - 22/i +1/2+1 + -TJ- gt = 0, gi = g (xh yi), (6.3.38)
U у
wu "¦-1 - 2o>i, i + wi, i+1 + -Д- (gx> (Vi, i + gy, twi, i) = swRy t,
326
Глава 6
обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода прямых. Точку
комплексной бифуркации для этой аппроксимирующей системы (6.3.31) можно
найти с помощью одного из методов, описанных в параграфе 5.5. При этом,
если воспользоваться для решения указанной системы прямым итерационным
методом в его несокращенной версии, которая была описана в п. 5.5.3, то
нетрудно показать, что получающаяся нели1 нейная (алгебраическая) система
имеет тот же самый вид, что и система (6.3.38), если подходящим образом
выбрать для нее граничные условия!). Это утверждение читатель может легко
проверить самостоятельно.
Метод стрельбы. Этот подход мы продемонстрируем на примере задачи 14, т.
е. уравнений (Р14-7), (Р14-8) с граничными условиями (Р14-9), (Р14-10).
Правые части этих уравнений отличаются от правых частей уравнений (4.3.7)
членами с первой производной; кроме того, имеются различия и в граничных
условиях (представляющих собой комбинацию граничных условий 1-го и 2-го
рода). В качестве бифуркационного параметра выберем параметр Da и положим
Le = 1.
Обозначим Е = ( 1-у) ехр (0/(1 + 0/у)) и запишем уравнения, которым
должны удовлетворять стационарные решения
Уравнения (6.3.33) для этого случая (в компонентах v, w) записываются
так:
pi-i/"-/ + Da? = 0, гем
(6.3.39)
- 0" - 0' + В Da Е - р (0 - 0С) = 0.
(6.3.40а) (6.3.40Ь)
Рен
W,
;-^ + Da[|^uR +Цшк] = -5щ, (6.3.41)
v" - v[ + ЪзЩ- О! + Ц Wl] = svR,
^ + SDa[||oR + ||ffi>R]-NR = -^i, w[ + В Da [-^- vx + JJ (r)i] - Pa/i =
swR.
l) Имеются в виду дополнительные уравнения типа (6.3.37). - Прим.
ред.
6.3. Нахождение точек ветвления
327
Граничные условия для функций v и w получаются из условий (6.3.40) в виде
Для решения системы шести дифференциальных уравнений второго порядка
(6.3.39), (6.3.41) воспользуемся методом стрельбы. Недостающие начальные
условия выберем в точке z= 1 (это связано с тем, что соответствующие
задачи Коши неустойчивы, если двигаться от точки г = 0 к точке z= 1, см.
Предыдущая << 1 .. 721 722 723 724 725 726 < 727 > 728 729 730 731 732 733 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed